九州大学 1999年度文理共通数学第3問(b)・第4問(b) 解答・解説

問題

実数 $a$ ， $b$ は $0 < a < b$ をみたすとする．次の3つの数の大小関係を求めよ．

\frac{a + 2 b}{3}, ab, 3 \frac{b ( a ^{2} + ab + b ^{2} )}{3}

出典：九州大学 1999年度前期日程第2次学力試験文系第3問(b)／理系第4問(b)

方針

三つの量はいずれも正なので，大小比較は二乗・三乗に移して差を調べられる。まず $ab$ と $(a + 2 b) /3$ は二乗して差を因数分解する。次に $(a + 2 b) /3$ と三乗根の量は三乗して差を計算する。最後に $0 < a < b$ から各因子が正であることを確認し，等号が起こらないことまで明記する。

解答

三つの数はいずれも正である。したがって正の数どうしの比較では，二乗または三乗して比べても大小関係は変わらない。

まず $A = \frac{a + 2 b}{3}, G = ab$ とおく。すると

A^{2} - G^{2} = (\frac{a + 2 b}{3})^{2} - ab = \frac{a ^{2} + 4 ab + 4 b ^{2} - 9 ab}{9} = \frac{( b - a ) ( 4 b - a )}{9} .

$0 < a < b$ より $b - a > 0$ ，また $4 b - a > 3 b > 0$ であるから $A^{2} - G^{2} > 0.$ 正の数どうしなので $ab < \frac{a + 2 b}{3}$ である。

次に $C = 3 \frac{b ( a ^{2} + ab + b ^{2} )}{3}$ とおく。 $A, C > 0$ なので三乗して比べる。

27 (C^{3} - A^{3}) = 9 b (a^{2} + ab + b^{2}) - (a + 2 b)^{3} = 9 a^{2} b + 9 a b^{2} + 9 b^{3} - (a^{3} + 6 a^{2} b + 12 a b^{2} + 8 b^{3}) = - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3} = (b - a)^{3} .

$b - a > 0$ より $C^{3} - A^{3} > 0$ である。したがって $\frac{a + 2 b}{3} < 3 \frac{b ( a ^{2} + ab + b ^{2} )}{3} .$ 以上より $ab < \frac{a + 2 b}{3} < 3 \frac{b ( a ^{2} + ab + b ^{2} )}{3}$ である。

別解。 $t = b / a$ とおくと $t > 1$ であり，三つの数を $a$ で割って比較できる。すなわち

\frac{ab}{a} = t, \frac{a + 2 b}{3 a} = \frac{1 + 2 t}{3}, (\frac{C}{a})^{3} = \frac{t ( 1 + t + t ^{2} )}{3} .

ここで $(\frac{1 + 2 t}{3})^{2} - t = \frac{( t - 1 ) ( 4 t - 1 )}{9} > 0$ より $t < (1 + 2 t) /3$ である。また $9 t (1 + t + t^{2}) - (1 + 2 t)^{3} = (t - 1)^{3} > 0$ より $(1 + 2 t) /3 < C / a$ である。よって同じ大小関係が得られる。

九州大学 1999年度文理共通数学 第3問(b)・第4問(b)

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文理共通数学第3問(b)・第4問(b)