問題
1からまでの数字を書いた玉がそれぞれ2個ずつ，全部で個入っている袋がある．この袋から2個の玉を同時に取り出すことを考える．取り出した玉の数字の大きい方を，小さい方をとする．ただし同じ数字のときはその数字をおよび（すなわち）とする．
(1) 確率および を求めよ．
(2) 確率および を求めよ．
(3) のときの期待値を求めよ．
(4) 一般のについての期待値を求めよ．
出典：九州大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問(c)
方針
最大値 と最小値 は、直接 を数えるより、累積確率 、 を先に求めて差を取る方が安全である。期待値は、 については の全組合せで差を合計し、 については2個の玉の数字の和そのものの期待値として線形性を使う。
解答
(1)
全事象は、 個の玉から2個を選ぶので 通りである。 とは、取り出した2個がどちらも の数字をもつことである。そのような玉は 個あるから
同様に、 とは、取り出した2個がどちらも の数字をもつことである。そのような玉は 個あるから
(2)
は、 から を引けばよい。ただし でも同じ式で読める。よって また であるから となり、整理して である。
(3)
のとき、全事象は 通りである。同じ数字を2個取る場合は である。異なる数字 を取る場合、その組は玉の区別により4通りあり、差は である。したがって ここで であるから である。よって である。
(4)
取り出した2個の玉の数字を、順序を気にせずそのまま足すと である。したがって は、2個の玉の数字の和の期待値に等しい。
袋全体の数字の平均は、各数字が2個ずつあるので である。2個同時に取り出しても、1個あたりの期待値はこの平均に等しいから である。