九州大学 1998年度
文系数学 第1問

解答

(1)

放物線を $y=x^2-2px$ とおくと、導関数は $y^{\prime }=2x-2p$ である。したがって、点 $(t,t^2-2pt)$ における接線は $y-(t^2-2pt)=2(t-p)(x-t)$ であり、整理して $y=2(t-p)x-t^2$ となる。これを $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動した直線は $l(t,b):y=2(t-p)x-t^2+b$ である。

(2)

放物線と直線の交点の $x$ 座標は $x^2-2px=2(t-p)x-t^2+b$ を満たす。左辺に集めると $x^2-2tx+t^2-b=0$ すなわち $(x-t{)}^2=b$ である。異なる2点で交わるには $b>0$ が必要で、このとき2解は $x=t-\sqrt{b},t+\sqrt{b}$ である。2つの $x$ 座標がともに正であるための条件は小さい方が正であること、すなわち $t-\sqrt{b}>0$ である。よって求める範囲は $b>0,t>\sqrt{b}$ または $t>\sqrt{b}>0$ である。

(3)

交点間では、直線の $y$ 座標から放物線の $y$ 座標を引くと $\{2(t-p)x-t^2+b\}-(x^2-2px)=b-(x-t{)}^2$ である。したがって囲まれる面積は $S={\int }_{t-\sqrt{b}}^{t+\sqrt{b}}\{b-(x-t{)}^2\}dx$ である。ここで $X=x-t$ とおくと $S={\int }_{-\sqrt{b}}^{\sqrt{b}}(b-X^2)dX=2{\int }_0^{\sqrt{b}}(b-X^2)dX$ となる。よって

である。

(4)

(3)の被積分関数 $b-(x-t{)}^2$ は $x=t$ に関して対称である。実際、$X=x-t$ とおくと、左半分と右半分の面積は ${\int }_{-\sqrt{b}}^0(b-X^2)dX,{\int }_0^{\sqrt{b}}(b-X^2)dX$ で、偶関数の積分だから等しい。したがって面積を二等分する直線は対称軸 $x=t$ である。ゆえに $u=t$ である。