問題
辺の長さ1の正四面体において，，，とおき，線分をに内分する点を，線分をに内分する点を，線分をに内分する点を，線分をに内分する点をとする．（ただし，とする．）
(1)
(i) ，を，，で表せ．
(ii) との内積を求めよ．
(iii) とが垂直かどうかを調べよ．
(2)
(i) のとき点，，，は同一平面上にあることを示せ．
(ii) このとき，の交点をとして，を，，で表せ．
(iii) は正四面体に外接する球の中心であることを示し，その球の半径を求めよ．
出典：九州大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問(a)
方針
内分点の位置ベクトルをまずすべて で表す。正四面体では各ベクトルの長さが1で、異なる2本の内積が であることを使う。 のときは4点の位置が中点の形に簡単化されるので、交点 を対角線の中点として求め、最後は から4頂点までの距離を直接計算して外接球中心を確認する。
解答
(1)(i)
内分点の公式より
である。また
である。したがって
であり、
である。
(1)(ii)
正四面体の一辺の長さは1であるから である。よって より となる。したがって である。
(1)(iii)
正四面体の対称性より である。(1)(i)の表示を用いると
これを展開すると、長さの2乗から出る部分は であり、異なる2本の内積から出る部分は である。したがって全体は0になり、 である。よって である。
(2)(i)
のとき
である。このとき
であり、また
である。したがって と は平行で長さも等しいので、4点 は同一平面上にある。
(2)(ii)
のとき、 と の中点は一致する。実際、
であり、
でもある。したがって交点 について である。
(2)(iii)
から各頂点までの距離を調べる。まず
である。次に であるから
同様に も成り立つ。よって であり、 は正四面体 に外接する球の中心である。その半径は である。