問題
を正の実数とするとき，方程式
の3個の解を，，とし，それらを複素数平面上の点と見なす．
(1) は上の方程式の解であるかどうかを調べよ．
(2) 3点，，が一直線上にあるようなの値を求めよ．
(3) 3点，，が直角三角形をなすようなの値を求めよ．
(4) 3点，，を原点のまわりに角だけ回転してえられる3点を，，とする．，，およびそれらと共役な点，，とが，原点中心の正六角形の頂点となるとき，および の値を求めよ．
出典：九州大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問(b)
方針
3次式を に因数分解し、解を複素数平面上の3点 と見る。一直線条件は3点の 座標、直角条件は2つのベクトルの内積、正六角形条件は原点からの距離と偏角で処理する。文系の設定では なので、理系版で現れる負の候補は除外する。
解答
(1)
与えられた3次式を因数分解すると である。したがって はこの方程式の解である。
(2)
2次方程式 の解は である。 より とおける。複素数平面では、これらは である。後の2点は直線 上にあるので、3点が一直線上にあるには もこの直線上になければならない。よって である。
(3)
3点は 軸に関して対称であり、 である。したがって直角三角形になるなら、直角は にある。2つのベクトル の内積が0になればよいから である。整理すると であり、 より である。
(4)
原点中心の正六角形の頂点になるには、6点がすべて原点から同じ距離になければならない。、また であるから すなわち である。
このとき、回転前の3点の偏角は である。これらを 回転すると となり、共役な点の偏角は となる。これは原点中心の正六角形の6頂点である。 で重なりなく60度間隔にするにはこの配置に限られるので である。