問題
右図のように円周を12等分する点が与えられている．これらの中から相異なる3点を選んで線分で結ぶと三角形がえられる．たとえば，，，を選べば，図のような三角形がえられる．このとき，次の問に答えよ．
(1) 正三角形を与えるような3点の選び方の総数を求めよ．
(2) 二等辺三角形を与えるような3点の選び方の総数を求めよ．
(3) 直角三角形を与えるような3点の選び方の総数を求めよ．
(4) 3点を選んでえられる三角形のうち，互いに合同でないものは全部でいくつあるか．
方針
12等分点上の三角形は、円周上で隣り合う選択点の間にある弧の個数で整理する。正三角形は4つおき、直角三角形は直径を含むこと、二等辺三角形は頂点を固定して左右同じだけ離れた点を取ることが決め手になる。合同分類では、3つの弧の個数を小さい順に並べた整数組 を漏れなく数える。
解答
(1)
正三角形になるには、円周を3等分するように頂点を取ればよい。12等分点では4つおきに取るので の4通りである。
(2)
まず頂角となる点を1つ固定する。その点から左右に同じだけ離れた2点を選べば二等辺三角形になる。離れ方は1個おき、2個おき、3個おき、4個おき、5個おきの5通りである。したがって、頂角を固定して数えると 通りとなる。
ただし正三角形は、3つの頂点のどれを頂角と見ても同じ三角形として数えられるため、上の数え方では1つの正三角形を3回数えている。正三角形は(1)より4通りであるから、重複を2回分ずつ引いて 通りである。
(3)
円周上の三角形が直角三角形になるのは、斜辺が円の直径であるときである。直径をなす2点の組は 通りある。直径の両端以外の点を第3の頂点に選べばよいので、それぞれ10通りである。よって 通りである。
(4)
選んだ3点が円周を3つの弧に分けるとき、その弧に含まれる12等分の個数を小さい順に とおく。合同かどうかはこの で決まり、また である。したがって、この条件を満たす整数組を数えればよい。 のとき の5通り。 のとき の4通り。 のとき の2通り。 のとき の1通りである。合計して 通りである。
別解。合同分類だけなら、最大の弧 を決めて数えてもよい。 であり、、 を満たす組を列挙すると、 に対してそれぞれ 通りとなる。合計はやはり である。