熊本大学 2020年度理系数学第4問（理工系）解答・解説

問題

正の実数 $t$ に対し，座標平面上の $2$ 点 $F$ $(t, 0) ，$ $F^{^{'}}$ $(3 t, 0)$ からの距離の和が $22 t$ であるような点 $P$ の軌跡を $C$ とする．直線 $y = x - 1$ を $l$ とする．以下の問いに答えよ．(問1)　 $C$ と $l$ が相異なる $2$ つの共有点をもつような $t$ の範囲を求めよ．(問2)　 $t$ が(問1)で求めた範囲を動くとき， $C$ と $l$ の $2$ つの共有点および原点 $O$ を頂点とする三角形の面積の最大値を求めよ．

出典：熊本大学 2020年度前期理系第4問

方針

焦点と距離和から楕円の標準形を作る。直線を代入して判別式で共有点条件を出し，三角形の面積は二解の差で表して最大化する。

解答

(問1)

楕円 $C$ は中心 $(2 t, 0)$ ，長半径 $2 t$ ，短半径 $t$ なので

\frac{( x - 2 t ) ^{2}}{2 t ^{2}} + \frac{y ^{2}}{t ^{2}} = 1.

$y = x - 1$ を代入すると

3 x^{2} - (4 t + 4) x + 2 t^{2} + 2 = 0.

判別式が正であればよいから

(4 t + 4)^{2} - 12 (2 t^{2} + 2) > 0

すなわち

2 - 3 < t < 2 + 3 .

(問2)

二つの交点を $(x_{1}, x_{1} - 1), (x_{2}, x_{2} - 1)$ とすると，原点との三角形の面積は $\frac{1}{2} ∣ x_{2} - x_{1} ∣$ 。二次方程式の解の差より

∣ x_{2} - x_{1} ∣ = \frac{2 2}{3} - t^{2} + 4 t - 1 .

よって面積は $\frac{2}{3} - t^{2} + 4 t - 1$ 。これは $t = 2$ で最大となり，最大値は

\frac{6}{3} .

熊本大学 2020年度理系数学 第4問（理工系）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

熊本大学 2020年度
理系数学第4問（理工系）