熊本大学 2020年度理系数学第3問（理工系2）解答・解説

問題

$0 < t < \frac{π}{2}$ のとき，曲線 $y = \frac{1}{c o s ^{2} x}$ $(0 ≦ x < \frac{π}{2}) ，$ $x$ 軸， $y$ 軸および直線 $x = t$ で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積を $V (t)$ とする．以下の問いに答えよ．(問1)　 $0 < a < b < \frac{π}{2}$ のとき， $π (b^{2} - a^{2}) \frac{1}{c o s ^{2} a}$ $≦ V (b) - V (a)$ $≦ π (b^{2} - a^{2}) \frac{1}{c o s ^{2} b}$ を示せ．(問2)　(問1)の不等式を用いて， $\frac{d}{d t} V (t) = 2 π t \frac{1}{c o s ^{2} t}$ を示せ．(問3)　 $V (\frac{π}{3})$ を求めよ．

出典：熊本大学 2020年度前期理系第3問

方針

$1/ cos^{2} x$ の増加性で $[a, b]$ の回転部分を二つの円環柱で挟む。差商にして導関数を出し，最後は $\int 2 π t sec^{2} t d t$ を部分積分する。

解答

(問1)

$a ≦ x ≦ b$ で $1/ cos^{2} x$ は増加する。よって回転してできる部分は，高さ $1/ cos^{2} a$ と $1/ cos^{2} b$ の円環柱で挟まれ，示す不等式を得る。

(問2)

問1に $a = t, b = t + h$ を用い $h > 0$ で割ると

π (2 t + h) \frac{1}{cos ^{2} t} ≦ \frac{V ( t + h ) - V ( t )}{h} ≦ π (2 t + h) \frac{1}{cos ^{2} ( t + h )} .

$h \to 0$ として

V^{'} (t) = 2 π t \frac{1}{cos ^{2} t} .

(問3)

V (\frac{π}{3}) = \int_{0}^{π /3} 2 π t \frac{1}{cos ^{2} t} d t .

\int t \frac{1}{cos ^{2} t} d t = t tan t + lo g (cos t)

より

V (\frac{π}{3}) = \frac{2 3}{3} π^{2} - 2 π lo g 2.

熊本大学 2020年度理系数学 第3問（理工系2）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2020年度
理系数学第3問（理工系2）