問題
以下の問いに答えよ．(問1) が自然数のとき，をで割ったときの余りはのいずれかであることを示せ．(問2) を満たす自然数の組は存在しないことを示せ．
出典：熊本大学 2020年度 前期 理系 第3問
方針
問1で平方剰余を確認する。問2は方程式を5で見て全変数が5の倍数になることを示し，同じ形のより小さい解が得られるとして無限降下で矛盾させる。
解答
(問1)
を で割った余り の平方の余りは 。よって の余りは のいずれかである。
(問2)
自然数解があるとする。 で割った余りを見ると 。平方剰余とその2倍の共通部分は だけなので， は の倍数。代入して で割ると となり， も の倍数である。したがって として で割れば同じ形のより小さい自然数解が得られる。これは無限に続けられないので矛盾。よって解は存在しない。