熊本大学 2020年度理系数学第1問（医学部医学科）解答・解説

問題

$x y$ 平面上において，媒介変数 $t$ $(0 ≦ t ≦ \frac{2}{3} π)$ によって ${x = sin t y = 1 - cos 3 t$ と表される曲線を $C$ とする．以下の問いに答えよ．(問1)　 $C$ 上の点で $x$ 座標が最大になる点 $P$ と $y$ 座標が最大になる点 $Q$ の座標をそれぞれ求めよ．(問2)　 $C$ 上の点 $(\frac{1}{2}, 1)$ における接線の方程式を求めよ．(問3)　 $C$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

出典：熊本大学 2020年度前期理系第1問

方針

$x, y$ それぞれの最大を媒介変数で求める。接線は $(d y / d t) / (d x / d t)$ 。面積は曲線と x 軸の閉領域として $\int y d x$ を媒介変数で計算する。

解答

(問1)

$x = sin t$ は $t = \frac{π}{2}$ で最大となり， $P = (1, 1)$ 。 $y = 1 - cos 3 t$ は $3 t = π$ で最大となるので

Q = (\frac{3}{2}, 2) .

(問2)

点 $(\frac{1}{2}, 1)$ は $t = \frac{π}{6}$ に対応する。

\frac{d y}{d x} = \frac{3 sin 3 t}{cos t}

より傾きは $23$ 。したがって

y - 1 = 23 (x - \frac{1}{2}) .

(問3)

面積は

\int_{0}^{2 π /3} (1 - cos 3 t) cos t d t = [sin t - \frac{1}{4} sin 2 t - \frac{1}{8} sin 4 t]_{0}^{2 π /3} = \frac{9 3}{16} .

熊本大学 2020年度理系数学 第1問（医学部医学科）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2020年度
理系数学第1問（医学部医学科）