熊本大学 2020年度理系数学第4問（医学部医学科）解答・解説

問題

$x y$ 平面において， $x ，$ $y$ がともに整数であるとき，点 $(x, y)$ を格子点とよぶ． $2$ 以上の整数 $n$ に対し， $0 < x < n ，$ $1 < 2^{y} < (1 + \frac{x}{n})^{n}$ をみたす格子点 $(x, y)$ の個数を $P (n)$ で表す．以下の問いに答えよ．(問1)　不等式 $\sum_{k = 1}^{n - 1} {n lo g_{2} (1 + \frac{k}{n}) - 1}$ $≦ P (n)$ $< \sum_{k = 1}^{n - 1} n lo g_{2} (1 + \frac{k}{n})$ を示せ．(問2)　極限値 $lim_{n \to \infty} \frac{P ( n )}{n ^{2}}$ を求めよ．(問3)　(問2)で求めた極限値を $L$ とする．不等式 $L - \frac{P ( n )}{n ^{2}} > \frac{1}{2 n}$ を示せ．

出典：熊本大学 2020年度前期理系第4問

方針

各 $x = k$ で正整数 $y < M_{k}$ の個数を $M_{k} - 1$ 以上 $M_{k}$ 未満で評価する。極限はリーマン和で積分にし，最後は $lo g_{2} (1 + x)$ の上に凸性から台形和評価を使う。

解答

(問1)

$x = k$ （ $1 ≦ k ≦ n - 1$ ）と固定すると

1 ≦ y < n lo g_{2} (1 + \frac{k}{n})

を満たす整数 $y$ の個数を数えればよい。正の実数 $M$ について $1 ≦ y < M$ を満たす整数の個数は $M - 1$ 以上 $M$ 未満である。これを各 $k$ で足せば示す不等式を得る。

(問2)

問1を $n^{2}$ で割ると上下の差は $(n - 1) / n^{2} \to 0$ 。したがって

n \to \infty lim \frac{P ( n )}{n ^{2}} = \int_{0}^{1} lo g_{2} (1 + x) d x .

自然対数を $lo g$ とすると

\int_{0}^{1} lo g_{2} (1 + x) d x = \frac{1}{lo g 2} \int_{0}^{1} lo g (1 + x) d x = 2 - \frac{1}{lo g 2} .

(問3)

$f (x) = lo g_{2} (1 + x)$ とおく。問1より

\frac{P ( n )}{n ^{2}} < \frac{1}{n} k = 1 \sum n - 1 f (\frac{k}{n}) .

また $f^{''} (x) < 0$ なので，各小区間でグラフは端点を結ぶ線分より上にある。よって

\int_{0}^{1} f (x) d x > \frac{1}{n} {\frac{1}{2} f (0) + k = 1 \sum n - 1 f (\frac{k}{n}) + \frac{1}{2} f (1)} .

$f (0) = 0, f (1) = 1$ より

L - \frac{P ( n )}{n ^{2}} > \frac{1}{2 n} .

熊本大学 2020年度理系数学 第4問（医学部医学科）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2020年度
理系数学第4問（医学部医学科）