問題
以下の問いに答えよ．(問1) が自然数のとき，をで割ったときの余りはのいずれかであることを示せ．(問2) 自然数がを満たすとき，はすべて5の倍数であることを示せ．(問3) を満たす自然数の組は存在しないことを示せ．
出典：熊本大学 2020年度 前期 理系 第1問
方針
平方数の5での余りを列挙し，方程式を5で割った余りで見る。全変数が5の倍数になることを示してから，最小解を仮定する無限降下で矛盾させる。
解答
(問1)
を で割った余り の平方の余りは
である。よって余りは のいずれか。
(問2)
を で見ると 。平方剰余 とその2倍 の共通部分は だけなので， は の倍数。 として代入し で割ると
だから も の倍数である。
(問3)
自然数解のうち が最小のものを取る。問2より と書け，代入して で割ると
となる。これはより小さい自然数解で，最小性に反する。よって解は存在しない。