熊本大学 2020年度理系数学第2問解答・解説

問題

$α ，$ $β$ を複素数とし，複素数平面上の点 $O (0) ，$ $A (α) ，$ $B (β) ，$ $C (∣ α ∣^{2}) ，$ $D (\overline{α} β)$ を考える． $3$ 点 $O ，$ $A ，$ $B$ は三角形をなすとする．また，複素数 $z$ に対し， $Im (z)$ によって $z$ の虚部を表すことにする．以下の問いに答えよ．(問1)　 $△ O A B$ の面積を $S_{1} ，$ $△ O C D$ の面積を $S_{2}$ とするとき， $\frac{S _{2}}{S _{1}}$ を求めよ．(問2)　 $△ O A B$ の面積 $S_{1}$ は $\frac{1}{2} ∣ Im (\overline{α} β) ∣$ で与えられることを示せ．(問3)　実数 $a ，$ $b$ に対し，複素数 $z$ を $z = a + bi$ で定める． $1 ≦ a ≦ 2 ，$ $1 ≦ b ≦ 3$ のとき， $3$ 点 $O (0) ，$ $P (z) ，$ $Q (\frac{1}{z})$ を頂点とする $△ O P Q$ の面積の最大値と最小値を求めよ．

出典：熊本大学 2020年度前期理系第2問

方針

問1は複素数の乗法を拡大回転として見る。問2は $α = p + q i, β = r + s i$ と座標で面積公式を示す。問3は面積を $ab / (a^{2} + b^{2})$ にして $r = b / a$ の関数で最大最小を求める。

解答

(問1)

$C, D$ は $A, B$ に $\overline{α}$ を掛けた点である。長さは $∣ α ∣$ 倍，面積は $∣ α ∣^{2}$ 倍なので

\frac{S _{2}}{S _{1}} = ∣ α ∣^{2} .

(問2)

$α = p + q i, β = r + s i$ とすると

S_{1} = \frac{1}{2} ∣ p s - q r ∣.

また

\overline{α} β = (p - q i) (r + s i) = p r + q s + (p s - q r) i

だから， $S_{1} = \frac{1}{2} ∣ Im (\overline{α} β) ∣$ 。

(問3)

問2を $z$ と $1/ z$ に用いると

S = \frac{1}{2} Im \frac{z}{z} .

$z = a + bi$ より

\frac{z}{z} = \frac{( a - bi ) ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}}

なので

S = \frac{ab}{a ^{2} + b ^{2}} .

$r = b / a$ とおくと $1/2 ≦ r ≦ 3$ ， $S = \frac{r}{1 + r ^{2}}$ 。最大値は $r = 1$ で $\frac{1}{2}$ ，最小値は端点比較で $\frac{3}{10}$ 。

熊本大学 2020年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2020年度
理系数学第2問