横浜国立大学 2024年度理系数学第5問解答・解説

問題

% 図は省略

$x y$ 平面上に，原点 $O$ を中心とする半径1の円 $C$ がある。さらに， $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して，中心 $O_{n}$ ，半径 $r_{n}$ の円 $C_{n}$ があり，以下の(i)，(ii)，(iii)をみたす。

(i)　点 $O_{1}$ の座標は $(1 - r_{1}, 0)$ であり，かつ $r_{1} < 1$ である。

(ii)　 $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して， $C_{n + 1}$ は $C$ に内接し， $C_{n + 1}$ と $C_{n}$ は外接する。

(iii)　 $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して，半直線 $O O_{n + 1}$ は， $O$ を中心として半直線 $O O_{n}$ を時計の針の回転と逆向きに $2 θ_{n}$ 回転したものであり， $0 < 2 θ_{n} < π$ である。

次の問いに答えよ。

(1) $sin^{2} θ_{1}$ を $r_{1}$ ， $r_{2}$ の式で表せ。

以下， $r_{n} = \frac{1}{2 ^{n + 1} + 1}$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）とする。

(2) $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して， $sin θ_{n}$ を $n$ の式で表せ。

(3) $0 < x < \frac{π}{6}$ に対して，

sin x < x < sin x + \frac{1}{5} sin^{3} x

を示せ。必要ならば， $3.14 < π < 3.15$ を用いてよい。

(4) 極限値 $lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} θ_{k}$ は存在し，その極限値を $α$ とおく。 $α$ の小数第2位まで（小数第3位切り捨て）を求めよ。必要ならば， $1.41 < 2 < 1.42$ を用いてよい。

出典：横浜国立大学 2024年度前期理系第5問

方針

隣り合う小円の中心と原点でできる三角形に余弦定理を用い， $sin^{2} θ_{n}$ を半径で表す。指定された $r_{n}$ では比 $r_{n} / (1 - r_{n})$ が簡単になる。(3)は関数の増減で証明し，(4)は(3)の不等式を各 $θ_{k}$ に適用して幾何級数で上下から評価する。

解答

(1)

三角形 $O O_{1} O_{2}$ で

O O_{1} = 1 - r_{1}, O O_{2} = 1 - r_{2}, O_{1} O_{2} = r_{1} + r_{2}

であり， $∠ O_{1} O O_{2} = 2 θ_{1}$ である。余弦定理より

(r_{1} + r_{2})^{2} = (1 - r_{1})^{2} + (1 - r_{2})^{2} - 2 (1 - r_{1}) (1 - r_{2}) cos 2 θ_{1}

である。 $cos 2 θ_{1} = 1 - 2 sin^{2} θ_{1}$ を用いて整理すると

sin^{2} θ_{1} = \frac{r _{1} r _{2}}{( 1 - r _{1} ) ( 1 - r _{2} )}

である。

(2)

(1)と同様に

sin^{2} θ_{n} = \frac{r _{n} r _{n + 1}}{( 1 - r _{n} ) ( 1 - r _{n + 1} )}

である。ここで

\frac{r _{n}}{1 - r _{n}} = \frac{1}{2 ^{n + 1}}

だから

sin^{2} θ_{n} = \frac{1}{2 ^{n + 1}} \frac{1}{2 ^{n + 2}} = \frac{1}{2 ^{2 n + 3}}

である。 $0 < θ_{n} < π /2$ より

sin θ_{n} = \frac{1}{2 ^{n + 1} 2}

である。

(3)

$0 < x < π /6$ で $sin x < x$ は， $x - sin x$ の微分が $1 - cos x > 0$ であることから従う。

次に

g (x) = sin x + \frac{1}{5} sin^{3} x - x

とおく。すると

g^{'} (x) = cos x + \frac{3}{5} sin^{2} x cos x - 1 = \frac{( 1 - cos x ) ( 3 cos ^{2} x + 3 cos x - 5 )}{5}

である。 $3 u^{2} + 3 u - 5$ は $u$ について増加する範囲で符号が一度だけ変わるので， $g (x)$ は $0 < x < π /6$ で一度増加し，その後一度減少する。さらに

g (0) = 0, g (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{40} - \frac{π}{6} > 0

である。最後の不等式は $π < 3.15$ から従う。よって

x < sin x + \frac{1}{5} sin^{3} x

である。

(4)

(2)より $sin θ_{k} = 1/ (2^{k + 1} 2)$ である。(3)を $θ_{k}$ に用いると

sin θ_{k} < θ_{k} < sin θ_{k} + \frac{1}{5} sin^{3} θ_{k}

である。したがって部分和は上から有界であり，極限 $α$ が存在する。また，

k = 1 \sum \infty sin θ_{k} = \frac{1}{2 2} = \frac{2}{4}

であり，

k = 1 \sum \infty \frac{1}{5} sin^{3} θ_{k} = \frac{2}{1120}

である。よって

\frac{2}{4} < α < \frac{2}{4} + \frac{2}{1120}

である。 $1.41 < 2 < 1.42$ より

0.3525 < α < 0.3563

であるから，小数第3位を切り捨てた小数第2位までの値は

0.35

である。

横浜国立大学 2024年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

横浜国立大学 2024年度
理系数学第5問