横浜国立大学 2024年度理系数学第1問(2) 解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(2) 実数全体で定義された連続関数 $f (x)$ が，すべての実数 $x$ に対して $f (x) > 0$ ，かつ

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{t}{( t ^{2} + 1 ) f ( t )} d t + 1

をみたすとき， $f (x)$ を求めよ。

出典：横浜国立大学 2024年度前期理系第1問(2)

右辺の積分の被積分関数は連続なので，両辺を微分できる。 $f (x) > 0$ を使って $f (x)^{2}$ を微分する形に直し，初期値 $f (0) = 1$ で定数を決める。

与えられた式から $f (0) = 1$ である。また， $f (x) > 0$ で被積分関数は連続だから，両辺を微分して

f^{'} (x) = \frac{x}{( x ^{2} + 1 ) f ( x )}

を得る。よって

{f (x)^{2}}^{'} = 2 f (x) f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

である。これを $0$ から $x$ まで積分すると

f (x)^{2} - f (0)^{2} = lo g (x^{2} + 1)

である。 $f (0) = 1$ ，かつ $f (x) > 0$ より

f (x) = 1 + lo g (x^{2} + 1)

である。