問題
四面体において，点，，は，それぞれ辺，，を，，の比に内分する。点との重心を通る直線が平面と交わる点をとする。ベクトル，，をそれぞれ，，とおく。次の問いに答えよ。
(1) を，で表せ。
さらに，，，，であり，直線が平面に直交しているとする。
(2) ，を求めよ。
(3) の面積を求めよ。
(4) 四面体の体積を求めよ。
出典：横浜国立大学 2024年度 前期 理系 第3問
方針
点をで表し，直線上の点をパラメータ表示して平面との交点を求める。後半はがの両方に垂直であることを内積で式にし，長さ，面積，体積を順に求める。
解答
(1)
である。よって重心について
である。直線上の点は
と表せる。平面上ではの係数が0であるからであり，
である。
(2)
である。平面より，，である。したがって
である。これより
である。
(3)
であるから，
である。
(4)
(2)で得た値を用いて計算すると
である。よって高さはであり，四面体の体積は
である。