横浜国立大学 2024年度理系数学第4問解答・解説

問題

$α$ を， $∣ α ∣ < 1$ をみたす複素数とする。 $\overline{α} z \neq = 1$ となる複素数 $z$ に対して，

w = \frac{α - z}{1 - α z}

と定める。ただし， $\overline{α}$ は $α$ の共役複素数を表す。次の問いに答えよ。

(1) $z$ が $∣ z ∣ = \frac{1}{3}$ をみたしながら動くとき， $w$ の描く図形 $D$ を求め， $α = \frac{1}{2}$ のとき， $D$ を複素数平面に図示せよ。

(2) $α$ が $∣ α ∣ = \frac{1}{2}$ をみたしながら動くとき，(1)で求めた図形 $D$ が通過する範囲 $E$ を求め， $E$ を複素数平面に図示せよ。

出典：横浜国立大学 2024年度前期理系第4問

変換式を $z = (α - w) / (1 - \overline{α} w)$ に解き直し， $∣ z ∣ = 1/3$ を $w$ の円の方程式に変換する。後半では $∣ α ∣ = 1/2$ のとき，円 $D$ の中心が動く円と半径を読み取り，通過範囲を原点中心の環状領域として求める。

与えられた式を $z$ について解くと

z = \frac{α - w}{1 - α w}

である。 $∣ z ∣ = 1/3$ より

∣ w - α ∣^{2} = \frac{1}{9} ∣1 - \overline{α} w ∣^{2}

である。整理すると

w - \frac{8 α}{9 - ∣ α ∣ ^{2}} = \frac{3 ( 1 - ∣ α ∣ ^{2} )}{9 - ∣ α ∣ ^{2}}

を得る。したがって $D$ は中心 $\frac{8 α}{9 - ∣ α ∣ ^{2}}$ ，半径 $\frac{3 ( 1 - ∣ α ∣ ^{2} )}{9 - ∣ α ∣ ^{2}}$ の円である。

$α = 1/2$ のとき，中心は $16/35$ ，半径は $9/35$ である。すなわち実軸上の点 $16/35$ を中心とする半径 $9/35$ の円を図示すればよい。

$∣ α ∣ = 1/2$ のとき，(1)の円 $D$ の中心は原点を中心とする半径 $16/35$ の円上を動き， $D$ の半径は常に $9/35$ である。したがって $D$ が通過する範囲は，原点からの距離が

\frac{16}{35} - \frac{9}{35} ≦ ∣ w ∣ ≦ \frac{16}{35} + \frac{9}{35}

を満たす部分である。よって

\frac{1}{5} ≦ ∣ w ∣ ≦ \frac{5}{7}

であり，原点中心の2つの円 $∣ w ∣ = 1/5$ ， $∣ w ∣ = 5/7$ で囲まれる領域を図示すればよい。