横浜国立大学 2024年度理系数学第2問解答・解説

問題

% 図は省略

1辺の長さが1の正六角形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$ がある。

1個のさいころを続けて5回投げ，出た目を順に $n_{1}$ ， $n_{2}$ ， $n_{3}$ ， $n_{4}$ ， $n_{5}$ とおく。次の条件付き確率をそれぞれ求めよ。

(1) 「 $n_{1}$ ， $n_{2}$ ， $n_{3}$ がすべて異なる」という条件のもとで，「三角形 $A_{n_{1}} A_{n_{2}} A_{n_{3}}$ の面積が $\frac{3}{2}$ である」という条件付き確率

(2) 「 $n_{1}$ ， $n_{2}$ ， $n_{3}$ がすべて異なり，かつ， $n_{4} \neq = n_{5}$ である」という条件のもとで，「線分 $A_{n_{4}} A_{n_{5}}$ が三角形 $A_{n_{1}} A_{n_{2}} A_{n_{3}}$ の面積を2等分する」という条件付き確率

出典：横浜国立大学 2024年度前期理系第2問

方針

(1)は正六角形の3頂点の選び方を面積で分類する。(2)は面積を2等分する線分が正六角形の対角線のうち向かい合う頂点を結ぶものに限られることを使い，三角形ごとに該当する直径の本数を数える。最後に順序つきの出目へ戻す。

解答

(1)

$n_{1}, n_{2}, n_{3}$ がすべて異なる場合は，順序つきで

6 \cdot 5 \cdot 4 = 120

通りである。正六角形の異なる3頂点の選び方は20通りで，面積が $3 /2$ となるものは12通りである。順序を考えると有利な場合は $12 \cdot 6 = 72$ 通りである。よって条件付き確率は

\frac{72}{120} = \frac{3}{5}

である。

(2)

条件を満たす全事象は

(6 \cdot 5 \cdot 4) (6 \cdot 5) = 3600

通りである。面積を2等分する線分は，正六角形の向かい合う頂点を結ぶ $A_{1} A_{4}, A_{2} A_{5}, A_{3} A_{6}$ のいずれかである。

異なる3頂点でできる三角形20通りのうち， $A_{1} A_{3} A_{5}$ と $A_{2} A_{4} A_{6}$ の2通りでは，3本の直径がいずれも面積を2等分する。残り18通りでは，該当する直径は1本だけである。したがって，順序つきの $(n_{4}, n_{5})$ まで数えると，三角形1つあたり直径1本につき2通りであるから，有利な通り数は

6 {2 \cdot 6 + 18 \cdot 2} = 288

である。よって条件付き確率は

\frac{288}{3600} = \frac{2}{25}

である。

横浜国立大学 2024年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

横浜国立大学 2024年度
理系数学第2問