横浜国立大学 2024年度理系数学第1問(1) 解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) 定積分

\int_{0}^{l o g 3} \frac{e ^{3 x} + 4 e ^{2 x} + e ^{x}}{e ^{4 x} + 2 e ^{2 x} + 1} d x

を求めよ。

出典：横浜国立大学 2024年度前期理系第1問(1)

$u = e^{x}$ とおいて有理関数に直す。 $1/ (1 + u^{2})$ の積分は $u = tan θ$ で処理し，逆三角関数を使わずに値を出す。

$u = e^{x}$ とおくと， $d x = d u / u$ ，積分区間は $u = 1$ から $u = 3$ までである。したがって

\int_{0}^{l o g 3} \frac{e ^{3 x} + 4 e ^{2 x} + e ^{x}}{e ^{4 x} + 2 e ^{2 x} + 1} d x = \int_{1}^{3} \frac{u ^{2} + 4 u + 1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

である。ここで

\frac{u ^{2} + 4 u + 1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{u ^{2} + 1} + \frac{4 u}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}}

である。第1項は $u = tan θ$ とおくと， $θ$ は $π /4$ から $π /3$ まで動き，積分値は $π /12$ である。また

\int_{1}^{3} \frac{4 u}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u = [- \frac{2}{u ^{2} + 1}]_{1}^{3} = \frac{1}{2}

である。よって求める値は

\frac{π}{12} + \frac{1}{2}

である。