東京大学 2019年度
理系数学 第6問

解答

(1)

方程式 $z^4-2z^3-2az+b=0$ の係数はすべて実数である。したがって、実数でない解があれば、その共役複素数も解である。

4つの解がすべて実数であるとすると、$\alpha \beta +\gamma \delta$ は実数になり、条件3の「虚部は0でない」に反する。

次に、4つの解がすべて実数でないとする。このとき解は2組の共役複素数 $u+vi,u-vi,s+ti,s-ti$ の形である。共役な2つを同じ組にすれば積は実数であり、交差して組にしても、例えば $(u+vi)(s+ti)+(u-vi)(s-ti)=2(us-vt)$ のように和は実数になる。したがって、どのように2つずつ組にしても $\alpha \beta +\gamma \delta$ は実数となり、条件3に反する。

よって4つの解のうち、ちょうど2つが実数であり、残りの2つは互いに共役な複素数である。

(2)

実数解を $x,y$、実数でない解を $u+vi,u-vi$ とおく。ただし $v\ne 0$ である。

条件3より、$\alpha \beta$ と $\gamma \delta$ はそれぞれ実根と非実根の積でなければならない。もし実根どうし、非実根どうしを掛ける組があれば、和は実数になってしまうからである。したがって、必要なら文字を入れ替えて $\alpha =x,\beta =u+vi,\gamma =y,\delta =u-vi$ としてよい。このとき $\alpha \beta +\gamma \delta =x(u+vi)+y(u-vi)=u(x+y)+v(x-y)i$ である。条件3から実部は0、虚部は0でないので $u(x+y)=0,x\ne y$ を得る。

解と係数の関係より $x+y+2u=2$ であり、2つずつの積の和は0だから $xy+2u(x+y)+u^2+v^2=0$ である。また3つずつの積の和は $2a$ であり、4つの積は $b$ である。

まず $u=0$ の場合を考える。このとき $x+y=2$ であり、2つずつの積の関係から $xy+v^2=0$ である。3つずつの積の和は $xy(u+vi)+xy(u-vi)+x(u^2+v^2)+y(u^2+v^2)$ であり、$u=0$、$x+y=2$ を代入すると $2a=2v^2$ となる。したがって $a=v^2$ である。また $b=xy(u^2+v^2)=xy{v}^2=-v^4$ なので $b=-a^2$ である。

次に $x+y=0$ の場合を考える。$x+y+2u=2$ より $u=1$ である。2つずつの積の関係から $xy+1+v^2=0$ すなわち $xy=-(1+v^2)$ である。3つずつの積の和は、$x+y=0$、$u=1$ を用いると $2a=2xy$ となるので $a=xy=-(1+v^2)$ である。また $b=xy(u^2+v^2)=xy(1+v^2)=-(1+v^2{)}^2$ だから、この場合も $b=-a^2$ である。

以上より $\boxed{b=-a^2}$ である。

(3)

条件3のもとで、$\alpha$ と $\beta$ は実根1つと非実根1つの組である。そこで $w=\alpha +\beta =X+Yi$ とおく。上の記号では、$w=x+u+vi$ と書ける。ここで $v\ne 0$ だから $Y\ne 0$ である。 $u=0$ の場合、$x+y=2$、$xy=-v^2$ である。したがって $x,y$ は $T^2-2T-v^2=0$ の2解であり $x=1\pm \sqrt{1+v^2}$ である。このとき $w=1\pm \sqrt{1+v^2}+vi$ となる。 $x+y=0$ の場合は $u=1$、$xy=-(1+v^2)$ である。したがって $x=\pm \sqrt{1+v^2}$ であり、このときも $w=1\pm \sqrt{1+v^2}+vi$ と書ける。

よって、$w=X+Yi$ の満たす条件は $X=1\pm \sqrt{1+Y^2},Y\ne 0$ である。これは $\boxed{(X-1{)}^2-Y^2=1,Y\ne 0}$ を満たす点全体である。

したがって、複素数平面上では中心を $1$ だけ右へ移した双曲線 $(X-1{)}^2-Y^2=1$ の2つの枝から、実軸上の2点 $0$、$2$ を除いた部分が求める範囲である。