問題
一辺の長さが1の正方形ABCDを考える。3点P，Q，Rはそれぞれ辺AB，AD，CD上にあり，3点A，P，Qおよび3点P，Q，Rはどちらも面積がの三角形の3頂点であるとする。
の最大値，最小値を求めよ。
出典：東京大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
正方形を座標平面に置き、、、 とする。 の面積条件から を得て、 を で表す。次に の面積を行列式で表し、 を導く。点が辺上にある条件から を確定し、求める比 を の関数として最大最小を調べる。端点値は ではなく で比較する。
解答
、、、 と座標を入れる。また とおく。点は辺上にあるので である。 の面積が であるから であり、 である。よって である。
次に の面積を求める。 だから、面積の2倍は
である。ここでは面積条件と辺上の条件を満たす範囲で となるので である。 を代入すると したがって である。 より を得る。 より 、また なので である。この範囲では上で得た も を満たす。
求める比は、、 だから
である。そこで とおくと である。 において、 は まで増加し、その後減少する。
よって端点と停留点を比較すると
である。したがって、最大値は であり、最小値は である。