東京大学 2019年度理系数学第4問解答・解説

問題

$n$ を1以上の整数とする。

(1) $n^{2} + 1$ と $5 n^{2} + 9$ の最大公約数 $d_{n}$ を求めよ。

(2) $(n^{2} + 1) (5 n^{2} + 9)$ は整数の2乗にならないことを示せ。

出典：東京大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

最大公約数は $5 (n^{2} + 1)$ と $5 n^{2} + 9$ の差を取ることで4の約数に限られる。あとは $n$ の偶奇で $n^{2} + 1$ と $5 n^{2} + 9$ が奇数か、2で割れて4では割れないかを判定する。(2)では、偶数の場合は2つの因子が互いに素なので、積が平方数なら各因子が平方数になることを使い、 $n^{2} + 1$ が隣り合う平方数の間にあることに矛盾させる。奇数の場合は共通因子2を除いて互いに素な $A, B$ に分け、 $B \equiv 3 (mod 4)$ が平方数でないことを用いる。

解答

(1)

$d_{n}$ は $n^{2} + 1$ と $5 n^{2} + 9$ の最大公約数である。したがって $d_{n}$ はそれらの整数係数の差も割るので $(5 n^{2} + 9) - 5 (n^{2} + 1) = 4$ より、 $d_{n}$ は4の正の約数である。 $n$ が偶数のとき、 $n^{2}$ は偶数であり、 $n^{2} + 1$ は奇数である。よって共通約数は偶数ではあり得ない。 $d_{n}$ は4の約数だから $d_{n} = 1$ である。 $n$ が奇数のとき、 $n^{2} \equiv 1 (mod 4)$ であるから $n^{2} + 1 \equiv 2 (mod 4), 5 n^{2} + 9 \equiv 5 + 9 \equiv 2 (mod 4)$ である。両方とも2で割れるが4では割れない。 $d_{n}$ は4の約数なので、この場合は $d_{n} = 2$ である。

したがって

d_{n} = {12 (2 ∣ n), (2 ∤ n)

である。

(2)

まず $n$ が偶数の場合を考える。(1)より $n^{2} + 1$ と $5 n^{2} + 9$ は互いに素である。互いに素な2つの整数の積が平方数なら、それぞれの整数が平方数でなければならない。もし $(n^{2} + 1) (5 n^{2} + 9)$ が平方数なら、特に $n^{2} + 1$ は平方数である。しかし $n^{2} < n^{2} + 1 < (n + 1)^{2}$ であり、 $n^{2} + 1$ は連続する平方数 $n^{2}$ 、 $(n + 1)^{2}$ の間にある。これは平方数であり得ない。

次に $n$ が奇数の場合を考える。 $A = \frac{n ^{2} + 1}{2}, B = \frac{5 n ^{2} + 9}{2}$ とおく。(1)で最大公約数が2であることから、 $A$ と $B$ は互いに素である。

もし $(n^{2} + 1) (5 n^{2} + 9) = 4 A B$ が平方数なら、4は平方数なので $A B$ も平方数である。さらに $A, B$ は互いに素だから、 $A$ と $B$ はそれぞれ平方数でなければならない。

ところが、 $n$ が奇数なら $n^{2} \equiv 1 (mod 8)$ である。よって $B = \frac{5 n ^{2} + 9}{2} \equiv \frac{5 + 9}{2} \equiv 7 \equiv 3 (mod 4)$ である。平方数は4で割ると0または1にしかならないので、 $B$ は平方数ではない。これは矛盾である。

以上より、すべての正の整数 $n$ について $(n^{2} + 1) (5 n^{2} + 9)$ は整数の2乗にならない。

東京大学 2019年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2019年度
理系数学第4問