東京大学 2019年度理系数学第5問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) $n$ を1以上の整数とする。 $x$ についての方程式

x^{2 n - 1} = cos x

は，ただ一つの実数解 $a_{n}$ をもつことを示せ。

(2) (1)で定まる $a_{n}$ に対し， $cos a_{n} > cos 1$ を示せ。

(3) (1)で定まる数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots\dots, a_{n}, \dots\dots$ に対し，

a = n \to \infty lim a_{n}, b = n \to \infty lim a_{n}^{n}, c = n \to \infty lim \frac{a _{n} ^{n} - b}{a _{n} - a}

を求めよ。

出典：東京大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

まず方程式の実数解が存在し得る範囲を絞る。 $∣ x ∣ > 1$ や $x < 0$ では左辺と右辺の大きさ・符号が合わないので、解は $0 < x < 1$ に限られる。この区間で $x^{2 n - 1} - cos x$ が連続かつ単調増加であることから一意性を示す。(2)は $0 < a_{n} < 1$ と $cos x$ の単調性で終わる。(3)は方程式を $a_{n}^{2 n - 1} = cos a_{n}$ と見て、まず $a_{n} \to 1$ をはさみうちで示す。さらに両辺に $a_{n}$ を掛けて $a_{n}^{n} = a_{n} cos a_{n}$ と表せば、 $b$ と最後の差商は1変数関数 $g (x) = x cos x$ の値と微分係数に帰着する。

解答

(1)

方程式 $x^{2 n - 1} = cos x$ を考える。

まず解の範囲を絞る。 $x > 1$ なら左辺は1より大きく、右辺は1以下なので解はない。 $x < - 1$ なら左辺は $- 1$ より小さく、右辺は $- 1$ 以上なので解はない。また $- 1 ≦ x < 0$ では、左辺は負である一方、 $cos x ≧ cos 1 > 0$ なので解はない。 $x = 0$ でも左辺は0、右辺は1であり解ではない。

したがって解は $0 < x ≦ 1$ の範囲で考えればよい。関数 $f (x) = x^{2 n - 1} - cos x$ を $0 ≦ x ≦ 1$ で考えると、 $f$ は連続で $f (0) = - 1 < 0, f (1) = 1 - cos 1 > 0$ である。よって中間値の定理により少なくとも1つ解をもつ。

さらに $f^{'} (x) = (2 n - 1) x^{2 n - 2} + sin x$ であり、 $0 < x ≦ 1$ では $f^{'} (x) > 0$ である。したがって $f$ は $0 < x ≦ 1$ で狭義単調増加であり、解は高々1つである。

以上より、方程式はただ一つの実数解 $a_{n}$ をもつ。

(2)

(1)の議論から $0 < a_{n} < 1$ である。 $cos x$ は $0 ≦ x ≦ 1$ で単調減少するので $cos a_{n} > cos 1$ である。

(3)

定義より $a_{n}^{2 n - 1} = cos a_{n}$ である。(2)から $cos a_{n} > cos 1$ なので $a_{n}^{2 n - 1} > cos 1$ である。 $0 < a_{n} < 1$ と合わせると $(cos 1)^{\frac{1}{2 n - 1}} < a_{n} < 1$ である。 $n \to \infty$ とすると左端は1に近づくから、はさみうちにより $a = n \to \infty lim a_{n} = 1$ である。

次に、方程式の両辺に $a_{n}$ を掛けると $a_{n}^{2 n} = a_{n} cos a_{n}$ である。 $a_{n} > 0$ なので $a_{n}^{n} = a_{n} cos a_{n}$ と書ける。よって $b = n \to \infty lim a_{n}^{n} = cos 1$ である。

最後に $g (x) = x cos x$ とおく。上で示したように $a_{n}^{n} = g (a_{n})$ 、 $b = g (1)$ 、 $a = 1$ であるから $c = lim_{n \to \infty} \frac{g ( a _{n} ) - g ( 1 )}{a _{n} - 1}$ である。 $a_{n} \to 1$ かつ $a_{n} \neq = 1$ なので、この極限は $g^{'} (1)$ に等しい。

微分すると $g^{'} (x) = \frac{c o s x - x s i n x}{2 x c o s x}$ である。したがって $c = \frac{cos 1 - sin 1}{2 cos 1}$ である。

東京大学 2019年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2019年度
理系数学第5問