問題
座標空間内に5点，，，，を考える。線分ABの中点Mと線分ADの中点Nを通り，直線AEに平行な平面をとする。さらに，はをみたす実数とし，点を考える。
(1) 八面体PABCDEの平面による切り口および，平面の平面による切り口を同一平面上に図示せよ。
% 図は省略
(2) 八面体PABCDEの平面による切り口が八角形となるの範囲を求めよ。
(3) 実数が(2)で定まる範囲にあるとする。八面体PABCDEの平面による切り口のうち，の部分を点が動くとき，座標平面上で点が動く範囲の面積を求めよ。
方針
まず と の方向から平面 の方程式を求める。 を通るため 方向を含み、 に平行であることから となる。(2)は の各頂点での符号を調べ、平面が八面体の辺を何本横切るかで八角形条件を判定する。(3)は のため上側の角錐 だけを扱う。高さ の断面を と表し、平面 を代入して 平面の領域に直す。絶対値の切り替わりと上端が0になる点で積分区間を分ける。
解答
(1)
線分ABの中点、線分ADの中点はそれぞれ である。また である。平面 は を通るので 方向を含み、さらに に平行である。したがって は平面上で一定であり、 を代入して を得る。
平面 で八面体を切ると、 平面上で を頂点とする四角形が得られる。また と の交線は である。したがって、同じ 平面上にこの四角形と直線 を描けばよい。
(2)
のどちら側に各頂点があるかを見るため とおく。各頂点での値は
である。 のとき、正の側にある頂点は 、負の側にある頂点は である。八面体の辺のうち、両端が異なる側にあるものは の8本である。平面はこれら8本の辺と交わるので、切り口は八角形となる。 のときは が平面 上にあり、切り口の頂点数は八角形の形にならない。 のときは正の側が だけになり、平面と交わる辺は6本に減る。したがって、問題の条件 と合わせて、求める範囲は である。
(3)
以下 とする。 の部分は上側の角錐 に含まれる。高さ で切ると、底面 のひし形 が、点 に向かって相似に縮む。したがって断面は で表される。
平面 上では である。さらに を考えるので、上の不等式は となる。すなわち、 平面では である。
絶対値の中身が0になるのは である。また上端が0になる右側の端は より である。 では が成り立つ。
したがって領域は次の2つに分けられる。 および である。
よって求める面積は
である。