東京大学 2018年度理系数学第6問解答・解説

問題

座標空間内の4点 $O (0, 0, 0)$ ， $A (1, 0, 0)$ ， $B (1, 1, 0)$ ， $C (1, 1, 1)$ を考える。
$\frac{1}{2} < r < 1$ とする。点 $P$ が線分 $O A$ ， $A B$ ， $B C$ 上を動くときに点 $P$ を中心とする半径 $r$ の球（内部を含む）が通過する部分を，それぞれ $V_{1}$ ， $V_{2}$ ， $V_{3}$ とする。

(1) 平面 $y = t$ が $V_{1}$ ， $V_{3}$ 双方と共有点をもつような $t$ の範囲を与えよ。さらに，この範囲の $t$ に対し，平面 $y = t$ と $V_{1}$ の共通部分および，平面 $y = t$ と $V_{3}$ の共通部分を同一平面上に図示せよ。

% 図は省略

(2) $V_{1}$ と $V_{3}$ の共通部分が $V_{2}$ に含まれるための $r$ についての条件を求めよ。

(3) $r$ は(2)の条件をみたすとする。 $V_{1}$ の体積を $S$ とし， $V_{1}$ と $V_{2}$ の共通部分の体積を $T$ とする。 $V_{1}$ ， $V_{2}$ ， $V_{3}$ を合わせて得られる立体 $V$ の体積を $S$ と $T$ を用いて表せ。

(4) ひきつづき $r$ は(2)の条件をみたすとする。 $S$ と $T$ を求め， $V$ の体積を決定せよ。

出典：東京大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

$V_{1}, V_{2}, V_{3}$ をそれぞれ線分 $O A, A B, B C$ から距離 $r$ 以下の点全体として扱う。(1)は平面 $y = t$ で切り， $V_{1}$ では線分 $0 ≦ x ≦ 1, z = 0$ の周りの半径 $r^{2} - t^{2}$ の平面領域， $V_{3}$ では線分 $x = 1, 0 ≦ z ≦ 1$ の周りの半径 $r^{2} - (1 - t)^{2}$ の平面領域になる。(2)はこの断面で $V_{1} \cap V_{3}$ が $V_{2}$ の円板からはみ出すかを，角 $(x, z) = (1, 0)$ からの最大距離で判定する。(3)は $V_{1} \cap V_{3} \subset V_{2}$ により包除原理を簡単にする。(4)は線分の太さ $r$ の管の体積 $S$ と，直交する2本の管の共通部分 $T$ を，角点まわりの4象限に分けて求める。

解答

(1)

$V_{1}$ は線分 $O A$ からの距離が $r$ 以下の点全体である。平面 $y = t$ が $V_{1}$ と共有点をもつには，線分 $O A$ のある平面 $y = 0$ からの距離が $r$ 以下であればよいから $∣ t ∣ ≦ r$ である。同様に， $V_{3}$ は線分 $B C$ からの距離が $r$ 以下の点全体であり， $B C$ は平面 $y = 1$ 上にあるので，平面 $y = t$ が $V_{3}$ と共有点をもつ条件は $∣ t - 1∣ ≦ r$ である。 $1/2 < r < 1$ より，双方と共有点をもつ範囲は $1 - r ≦ t ≦ r$ である。

この範囲の $t$ を固定する。平面 $y = t$ 上で座標を $(x, z)$ と見る。 $V_{1}$ との共通部分は，線分 $0 ≦ x ≦ 1, z = 0$ からの距離が $ρ_{1} = r^{2} - t^{2}$ 以下の点全体である。したがって，水平な線分を中心とする幅 $2 ρ_{1}$ の帯に，両端の半円を付けた形になる。

一方， $V_{3}$ との共通部分は，線分 $x = 1, 0 ≦ z ≦ 1$ からの距離が $ρ_{3} = r^{2} - (1 - t)^{2}$ 以下の点全体である。これは垂直な線分を中心とする幅 $2 ρ_{3}$ の帯に，両端の半円を付けた形である。

(2)

$1 - r ≦ t ≦ r$ とする。このとき $0 < t < 1$ であり，平面 $y = t$ と $V_{2}$ の共通部分は，平面 $(x, z)$ 上の中心 $(1, 0)$ ，半径 $r$ の円板である。

平面断面で，点 $(1, 0)$ から左向きの距離を $X = 1 - x$ ，上向きの座標を $z$ とする。 $V_{1} \cap V_{3}$ が $V_{2}$ からはみ出す可能性があるのは， $0 ≦ X$ ， $0 ≦ z$ の角の内側である。他の側では，どちらか一方の線分の端点 $(1, 0)$ からの距離がすでに $r$ 以下に抑えられる。

角の内側では， $V_{1}$ に属する条件から $z^{2} ≦ r^{2} - t^{2}$ であり， $V_{3}$ に属する条件から $X^{2} ≦ r^{2} - (1 - t)^{2}$ である。したがって $(1, 0)$ からの距離の2乗 $X^{2} + z^{2}$ の最大値は ${r^{2} - (1 - t)^{2}} + {r^{2} - t^{2}}$ である。断面ごとに $V_{1} \cap V_{3}$ が $V_{2}$ に含まれるための条件は，これが $r^{2}$ 以下であること，すなわち $2 r^{2} - t^{2} - (1 - t)^{2} ≦ r^{2}$ である。これは $r^{2} ≦ t^{2} + (1 - t)^{2}$ と同値である。

この条件が $1 - r ≦ t ≦ r$ のすべてで成り立つ必要がある。関数 $t^{2} + (1 - t)^{2}$ は $t = 1/2$ で最小値 $\frac{1}{2}$ をとる。しかも $1/2 < r < 1$ なので $1/2$ は区間 $[1 - r, r]$ に含まれる。よって必要十分条件は $r^{2} ≦ \frac{1}{2}$ である。もとの条件 $1/2 < r < 1$ と合わせて $\frac{1}{2} < r ≦ \frac{1}{2}$ を得る。

(3)

以後， $r$ は(2)の条件を満たすとする。 $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ は合同なので，それぞれの体積は $S$ である。また隣り合う2本の線分に対応する共通部分 $V_{1} \cap V_{2}$ ， $V_{2} \cap V_{3}$ の体積はいずれも $T$ である。

包除原理より

∣ V_{1} \cup V_{2} \cup V_{3} ∣ = 3 S - ∣ V_{1} \cap V_{2} ∣ - ∣ V_{2} \cap V_{3} ∣ - ∣ V_{1} \cap V_{3} ∣ + ∣ V_{1} \cap V_{2} \cap V_{3} ∣

である。(2)の条件のもとでは $V_{1} \cap V_{3} \subset V_{2}$ だから $V_{1} \cap V_{3} = V_{1} \cap V_{2} \cap V_{3}$ である。したがってこの2項は打ち消し合い，求める体積を $V$ と書くと $V = 3 S - 2 T$ である。

(4)

まず $S$ を求める。 $V_{1}$ は長さ1の円柱と，両端につく半径 $r$ の半球2つからなる。半球2つは半径 $r$ の球1個分なので $S = π r^{2} + \frac{4}{3} π r^{3}$ である。

次に $T$ を求める。点 $A$ を原点とし， $A O$ 方向を $u$ 軸， $A B$ 方向を $v$ 軸，それらに垂直な方向を $z$ 軸とする。 $u ≧ 0$ ， $v ≧ 0$ の部分では，2本の線分の内側に対応するので， $V_{1} \cap V_{2}$ の条件は $v^{2} + z^{2} ≦ r^{2}, u^{2} + z^{2} ≦ r^{2}$ である。したがって $0 ≦ u ≦ r$ ， $0 ≦ v ≦ r$ に対し $∣ z ∣ ≦ r^{2} - max (u^{2}, v^{2})$ となる。この部分の体積は $\int_{0}^{r} \int_{0}^{r} 2 r^{2} - max (u^{2}, v^{2}) d u d v$ である。正方形 $0 ≦ u, v ≦ r$ を $v ≦ u$ と $u ≦ v$ に分けると対称性により

2 \int_{0}^{r} \int_{0}^{u} 2 r^{2} - u^{2} d v d u = 4 \int_{0}^{r} u r^{2} - u^{2} d u

である。 $w = r^{2} - u^{2}$ とおけば $4 \int_{0}^{r} u r^{2} - u^{2} d u = \frac{4}{3} r^{3}$ となる。

残りの3つの象限，すなわち $u < 0$ または $v < 0$ を含む部分では，共通部分は点 $A$ を中心とする半径 $r$ の球の該当する象限部分になる。各象限は球の $1/4$ ずつであり，3象限分の体積は $3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} π r^{3} = π r^{3}$ である。したがって $T = π r^{3} + \frac{4}{3} r^{3} = (π + \frac{4}{3}) r^{3}$ である。

(3)より

V = 3 (π r^{2} + \frac{4}{3} π r^{3}) - 2 (π + \frac{4}{3}) r^{3}

であるから，整理して $V = 3 π r^{2} + (2 π - \frac{8}{3}) r^{3}$ を得る。

東京大学 2018年度理系数学 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

東京大学 2018年度
理系数学第6問