東京大学 2018年度
理系数学 第1問

解答

$0<x<\pi$ では $\sin x>0$ である。微分すると $f^{\prime }(x)=\frac{\sin x-x\cos x}{{\sin }^{2}x}-\sin x$ である。分母をそろえると

となる。

ここで $g(x)=x-\sin x\cos x$ とおくと，$g^{\prime }(x)=1-({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$ である。$0<x<\pi$ では $g^{\prime }(x)>0$ であり，$g(0)=0$ だから $g(x)>0$ である。したがって $\sin x\cos x-x=-g(x)<0$ であり，${\sin }^{2}x>0$ なので，$f^{\prime }(x)$ の符号は $-\cos x$ の符号と同じである。

よって $0<x<\pi /2$ では $f^{\prime }(x)<0$，$x=\pi /2$ では $f^{\prime }(x)=0$，$\pi /2<x<\pi$ では $f^{\prime }(x)>0$ である。また $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}$ であるから，増減表は

となる。

左端では ${\lim }_{x\to +0}\frac{x}{\sin x}=1,{\lim }_{x\to +0}\cos x=1$ より ${\lim }_{x\to +0}f(x)=2$ である。右端では $x\to \pi -0$ のとき $x\to \pi >0$，$\sin x\to +0$，$\cos x\to -1$ であるから，$x/\sin x\to +\infty$ となる。したがって ${\lim }_{x\to \pi -0}f(x)=+\infty$ である。