東京大学 2018年度理系数学第2問解答・解説

問題

数列 $a_{1}, a_{2}, \dots\dots$ を

a_{n} = \frac{_{2 n + 1} C _{n}}{n !} (n = 1, 2, \dots\dots)

で定める。

(1) $n ≧ 2$ とする。 $\frac{a _{n}}{a _{n - 1}}$ を既約分数 $\frac{q _{n}}{p _{n}}$ として表したときの分母 $p_{n} ≧ 1$ と分子 $q_{n}$ を求めよ。

(2) $a_{n}$ が整数となる $n ≧ 1$ をすべて求めよ。

出典：東京大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

$a_{n} / a_{n - 1}$ を階乗で展開し，約分前の形 $2 (2 n + 1) / (n (n + 1))$ を得る。既約分数の分母分子を問われているので， $2 n + 1$ が $n$ と $n + 1$ のどちらとも互いに素であり，共通因子が2だけであることを確認する。(2)は比が1未満になる $n ≧ 4$ 以降の単調減少と， $a_{8} < 1$ を使って大きい $n$ を除外し，残る $n ≦ 7$ を直接計算する。

解答

(1)

$n ≧ 2$ とする。まず

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{_{2 n + 1} C _{n}}{n !} \cdot \frac{( n - 1 )!}{_{2 n - 1} C _{n - 1}}

である。組合せの部分は

\frac{_{2 n + 1} C _{n}}{_{2 n - 1} C _{n - 1}} = \frac{( 2 n + 1 ) ( 2 n )}{n ( n + 1 )} = \frac{2 ( 2 n + 1 )}{n + 1}

であり，さらに $(n - 1)! / n! = 1/ n$ だから $\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{2 ( 2 n + 1 )}{n ( n + 1 )}$ である。

次にこの分数を既約にする。 $2 n + 1$ と $n$ の最大公約数は1である。また $2 n + 1 - 2 (n + 1) = - 1$ より， $2 n + 1$ と $n + 1$ の最大公約数も1である。したがって分子 $2 (2 n + 1)$ と分母 $n (n + 1)$ の共通因子は， $n (n + 1)$ に含まれる因子2だけである。よって既約分数は $\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{2 n + 1}{\frac{n ( n + 1 )}{2}}$ である。したがって $q_{n} = 2 n + 1, p_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ である。

(2)

(1)の約分前の式から $\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} < 1$ は $2 (2 n + 1) < n (n + 1)$ すなわち $n^{2} - 3 n - 2 > 0$ と同値である。この二次式の正の根は $(3 + 17) /2$ で，これは3と4の間にある。したがって整数 $n ≧ 2$ については， $n ≧ 4$ で $a_{n} < a_{n - 1}$ となる。

直接計算すると

n a_{n} 1325 3 \frac{35}{6} 4 \frac{21}{4} 5 \frac{77}{20} 6 \frac{143}{60} 7 \frac{143}{112} 8 \frac{2431}{4032}

である。 $a_{8} < 1$ であり， $n ≧ 4$ では単調減少するから， $n ≧ 8$ では $0 < a_{n} < 1$ となり整数ではない。表から $1 ≦ n ≦ 7$ で整数となるのは $n = 1, 2$ だけである。よって求める $n$ は $n = 1, 2$ である。

東京大学 2018年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2018年度
理系数学第2問