東京大学 2018年度理系数学第4問解答・解説

問題

$a > 0$ とし，

f (x) = x^{3} - 3 a^{2} x

とおく。次の2条件をみたす点 $(a, b)$ の動きうる範囲を求め，座標平面上に図示せよ。
条件1：方程式 $f (x) = b$ は相異なる3実数解をもつ。
条件2：さらに，方程式 $f (x) = b$ の解を $α < β < γ$ とすると $β > 1$ である。

% 図は省略

出典：東京大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

導関数 $f^{'} (x) = 3 (x^{2} - a^{2})$ から三次関数の増減と極値を調べる。3実数解の条件は水平線 $y = b$ が極大値 $2 a^{3}$ と極小値 $- 2 a^{3}$ の間を通ること。中央の解 $β$ は減少区間 $(- a, a)$ 上にあるため， $β > 1$ を満たすには $a > 1$ が必要で，そのうえで減少性により $b = f (β) < f (1)$ と変換する。最後に上側境界が $2 a^{3}$ ではなく $1 - 3 a^{2}$ になることを確認する。

解答

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 a^{2} = 3 (x^{2} - a^{2})$ である。したがって $f (x)$ は $(- \infty, - a)$ で増加し， $(- a, a)$ で減少し， $(a, \infty)$ で増加する。また $f (- a) = 2 a^{3}, f (a) = - 2 a^{3}$ である。

方程式 $f (x) = b$ が相異なる3実数解をもつためには，水平線 $y = b$ が極大値と極小値の間を通ればよい。よって条件1は $- 2 a^{3} < b < 2 a^{3}$ である。このとき3つの解 $α < β < γ$ のうち，中央の解 $β$ は減少区間 $(- a, a)$ にある。

条件2の $β > 1$ を考える。まず $β \in (- a, a)$ であるから， $β > 1$ が起こるには $a > 1$ が必要である。 $a > 1$ のもとでは $1 \in (- a, a)$ であり，この区間で $f$ は減少している。したがって $β > 1$ は $f (β) < f (1)$ と同値である。 $f (β) = b$ ， $f (1) = 1 - 3 a^{2}$ だから $b < 1 - 3 a^{2}$ となる。

よって候補は $a > 1, - 2 a^{3} < b < 2 a^{3}, b < 1 - 3 a^{2}$ である。さらに $a > 1$ では $1 - 3 a^{2} < 2 a^{3}$ であり，また $(1 - 3 a^{2}) - (- 2 a^{3}) = (a - 1)^{2} (2 a + 1) > 0$ だから，条件は $a > 1, - 2 a^{3} < b < 1 - 3 a^{2}$ に整理される。図示する領域は， $a > 1$ において曲線 $b = - 2 a^{3}$ より上，曲線 $b = 1 - 3 a^{2}$ より下の開領域である。

別解。中央の解を $β = t$ とおく。条件 $β > 1$ と $β \in (- a, a)$ から $1 < t < a$ であり，そのとき $b = f (t)$ である。固定した $a > 1$ に対し， $f$ は $(1, a)$ で減少するので， $t$ が $1 < t < a$ を動くと $b$ は $f (a) < b < f (1)$ を動く。すなわち $- 2 a^{3} < b < 1 - 3 a^{2}$ であり，同じ答えを得る。

東京大学 2018年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

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理系数学第4問