問題
放物線のうちをみたす部分をとする。座標平面上の原点と点を考える。を実数とする。点が上を動き，点が線分上を動くとき，
をみたす点が動く領域の面積をとする。
および，を求めよ。
出典：東京大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
， とおくと， で表せる。高さ を固定し， とおくと から2つの横区間が出る。区間の重なり条件は であり， の全体で重なるかどうかが を境に変わる。横幅を高さで積分して を出し，最後に ， の極限を読む。
解答
， とおく。ただし である。条件 より である。 とする。 より である。高さ を固定し， とおくと で， である。このとき が を動くので， の範囲は
となる。
2つの区間が重なる条件は，右側の区間の左端が左側の区間の右端以下であること，すなわち である。これは と同値である。
まず とする。このとき なので，すべての で2区間は重なる。固定した における横幅は
である。したがって
である。
次に とする。重なる範囲は であり， だから である。この範囲では横幅が ，それより上では2区間が分かれて横幅が となる。よって
である。第一項は であり，第二項は である。したがって となる。
以上より
である。 ではどちらの式も となり，つながっている。ゆえに である。
別解。2つの符号 ， からできる領域を別々に見ると，各高さで横幅が ，高さが なので，それぞれの面積は1である。したがって和集合の面積は から重なりの面積を引けばよい。 では重なりは で，その横幅は だから，重なりの面積は である。よって を得る。 でも同様に全高さで重なりを引くと
となる。