東京大学 2018年度理系数学第5問解答・解説

問題

複素数平面上の原点を中心とする半径1の円を $C$ とする。点 $P (z)$ は $C$ 上にあり，点 $A (1)$ とは異なるとする。点 $P$ における円 $C$ の接線に関して，点 $A$ と対称な点を $Q (u)$ とする。

w = \frac{1}{1 - u}

とおき， $w$ と共役な複素数を $\overline{w}$ で表す。

(1) $u$ と $\frac{w}{w}$ を $z$ についての整式として表し，絶対値の商 $\frac{∣ w + w - 1∣}{∣ w ∣}$ を求めよ。

(2) $C$ のうち実部が $\frac{1}{2}$ 以下の複素数で表される部分を $C^{'}$ とする。点 $P (z)$ が $C^{'}$ 上を動くときの点 $R (w)$ の軌跡を求めよ。

% 図は省略

出典：東京大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

単位円の点 $z$ における接線は，複素数 $X$ に対して $Re (X \overline{z}) = 1$ と表せる。点 $1$ をこの直線で対称移動すると，法線方向の成分から $u = 2 z - z^{2}$ が得られる。そこから $1 - u = (1 - z)^{2}$ ， $w = 1/ (1 - z)^{2}$ と変形し， $\overline{z} = 1/ z$ を用いて $\overline{w} / w$ と絶対値の商を求める。(2)は $w = X + Y i$ とおき，(1)の絶対値関係を放物線の式に直す。さらに $z = cos θ + i sin θ$ として， $Re z ≦ 1/2$ が $X$ のどの範囲に移るかを確認する。

解答

(1)

$∣ z ∣ = 1$ である。点 $P (z)$ における円 $C$ の接線は，半径 $O P$ に垂直であり，複素数 $X$ で表される点について $Re (X \overline{z}) = 1$ と書ける。点 $1$ からこの接線へ下ろす垂線の向きは $z$ 方向である。点 $1$ の接線からの符号つき距離に対応する量は

Re (1 \cdot \overline{z}) - 1 = Re (\overline{z}) - 1

であるから，対称移動後の点は $u = 1 + 2 {1 - Re (\overline{z})} z$ である。 $∣ z ∣ = 1$ より $z + \frac{1}{z} = 2 Re z$ であり， $Re (\overline{z}) = Re z$ だから $u = 1 + 2 z - z (z + \frac{1}{z}) = 2 z - z^{2}$ となる。

したがって $1 - u = 1 - 2 z + z^{2} = (1 - z)^{2}$ であり， $w = \frac{1}{( 1 - z ) ^{2}}$ である。また $∣ z ∣ = 1$ かつ $z \neq = 1$ より $\overline{z} = 1/ z$ であるから

\overline{w} = \frac{1}{( 1 - z ) ^{2}} = \frac{1}{( 1 - \frac{1}{z} ) ^{2}} = \frac{z ^{2}}{( 1 - z ) ^{2}}

である。よって $\frac{w}{w} = z^{2}$ を得る。

さらに

w + \overline{w} - 1 = \frac{1 + z ^{2}}{( 1 - z ) ^{2}} - 1 = \frac{1 + z ^{2} - ( 1 - z ) ^{2}}{( 1 - z ) ^{2}} = \frac{2 z}{( 1 - z ) ^{2}} = 2 z w

である。 $∣ z ∣ = 1$ より $\frac{∣ w + w - 1∣}{∣ w ∣} = 2$ である。

(2)

$w = X + Y i$ とおく。(1)で得た関係から $\frac{∣ w + w - 1∣}{∣ w ∣} = 2$ である。ここで $w + \overline{w} = 2 X$ ， $∣ w ∣ = X^{2} + Y^{2}$ だから $\frac{∣2 X - 1∣}{X ^{2} + Y ^{2}} = 2$ である。両辺を2乗して整理すると $(2 X - 1)^{2} = 4 (X^{2} + Y^{2})$ より $Y^{2} = \frac{1}{4} - X$ を得る。

次に範囲を調べる。 $z = cos θ + i sin θ$ とおくと， $w = \frac{1}{( 1 - z ) ^{2}} = \frac{- c o s θ + i s i n θ}{2 ( 1 - c o s θ )}$ である。したがって $X = - \frac{c o s θ}{2 ( 1 - c o s θ )}$ である。関数 $ϕ (c) = - \frac{c}{2 ( 1 - c )}$ は $- 1 ≦ c ≦ 1/2$ で減少する。実際， $ϕ^{'} (c) = - \frac{1}{2 ( 1 - c ) ^{2}} < 0$ である。 $P (z)$ が $C^{'}$ 上を動くとき $c = cos θ$ は $- 1 ≦ c ≦ \frac{1}{2}$ を動くので， $- \frac{1}{2} ≦ X ≦ \frac{1}{4}$ である。

以上より，点 $R (w)$ の軌跡は $Y^{2} = \frac{1}{4} - X, - \frac{1}{2} ≦ X ≦ \frac{1}{4}$ で表される放物線の部分である。端点 $X = - 1/2$ では $Y = \pm 3 /2$ ，端点 $X = 1/4$ では $Y = 0$ である。

東京大学 2018年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2018年度
理系数学第5問