東京大学 2016年度
理系数学 第6問

解答

点$C(0,0,1)$を基準にして考える。$z\geqq 1$側の点を取り，その点の$C$からの高さを $h=z-1(h\geqq 0)$ とする。また，その点の$C$からの水平方向の距離を$\rho$とする。すると，その点と$C$との距離$s$は $s=\sqrt{{\rho }^2+h^2}$ である。

まず$h>0$として考える。この点が線分$AB$上にあるとする。線分は$C$を通り，反対側へ延長すると点$A$を含む平面$z=0$に達する。$C$から上側の点までの距離が$s$，その鉛直方向の増加が$h$であるから，この直線上で鉛直方向に1だけ下がって平面$z=0$に達するまでの距離は，相似により $\frac{s}{h}$ である。

線分$AB$の長さは2であり，$C$はその線分上にある。したがって，上側に距離$s$だけ進み，反対側に平面$z=0$まで距離$s/h$だけ進むことができるための条件は $s+\frac{s}{h}\leqq 2$ である。すなわち $s\leqq \frac{2h}{h+1}$ である。

これを$\rho ,h$で書くと ${\rho }^2+h^2\leqq \frac{4h^2}{(h+1{)}^2}$ であり，${\rho }^2\leqq \frac{4h^2}{(h+1{)}^2}-h^2=\frac{h^2(1-h)(h+3)}{(h+1{)}^2}$ である。

右辺が0以上でなければ断面は存在しない。$h\geqq 0$では$h^2\geqq 0$，$h+3>0$，$(h+1{)}^2>0$なので，必要十分条件は $0\leqq h\leqq 1$ である。$h=0$では断面は点$C$だけで，体積には影響しない。

したがって，高さ$h$における断面は半径の2乗が $\frac{h^2(1-h)(h+3)}{(h+1{)}^2}$ である円であり，その面積は $\pi \frac{h^2(1-h)(h+3)}{(h+1{)}^2}$ である。よって求める体積$V$は $V=\pi {\int }_0^1\frac{h^2(1-h)(h+3)}{(h+1{)}^2}dh$ である。

被積分関数を整理すると $\frac{h^2(1-h)(h+3)}{(h+1{)}^2}=-h^2+4-\frac{8}{h+1}+\frac{4}{(h+1{)}^2}$ である。したがって

である。よって求める体積は $\pi \left(\frac{17}{3}-8\log 2\right)$ である。

別解。通過条件は，線分の向きを単位ベクトルで置いても導ける。鉛直成分が$h/s$である方向に，平面$z=0$まで戻る距離が$s/h$となるので，結局$s+s/h\leqq 2$に帰着する。断面を円として積分する点は同じである。