東京大学 2016年度理系数学第5問解答・解説

問題

$k$ を正の整数とし，10進法で表された小数点以下 $k$ 桁の実数

0. a_{1} a_{2} \dots a_{k} = \frac{a _{1}}{10} + \frac{a _{2}}{10 ^{2}} + \dots + \frac{a _{k}}{10 ^{k}}

を1つとる。ここで， $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ は0から9までの整数で， $a_{k} \neq = 0$ とする。

(1) 次の不等式をみたす正の整数 $n$ をすべて求めよ。

0. a_{1} a_{2} \dots a_{k} ≦ n - 10^{k} < 0. a_{1} a_{2} \dots a_{k} + 10^{- k}

(2) $p$ が $5 \cdot 10^{k - 1}$ 以上の整数ならば，次の不等式をみたす正の整数 $m$ が存在することを示せ。

0. a_{1} a_{2} \dots a_{k} ≦ m - p < 0. a_{1} a_{2} \dots a_{k} + 10^{- k}

(3) 実数 $x$ に対し， $r ≦ x < r + 1$ をみたす整数 $r$ を $[x]$ で表す。 $s - [s] = 0. a_{1} a_{2} \dots a_{k}$ をみたす正の整数 $s$ は存在しないことを示せ。

出典：東京大学 2016年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

$N = 1 0^{k}$ ， $A = a_{1} 1 0^{k - 1} + \dots + a_{k}$ とおき，小数を $A / N$ で表す。 $a_{k} \neq = 0$ より $1 ≦ A ≦ N - 1$ である。(1)は平方して $n$ の入る半開区間を作り，左端と右端の小数部分を評価して整数を2つに絞る。(2)も同じ半開区間を考え，長さが1より大きいことから整数の存在を示す。(3)は存在を仮定して $N s = N r + A$ を平方し， $N^{2} ∣ (N r + A)^{2}$ から $N ∣ A$ を導いて矛盾させる。

解答

$N = 1 0^{k}, A = a_{1} 1 0^{k - 1} + a_{2} 1 0^{k - 2} + \dots + a_{k}$ とおく。このとき $0. a_{1} a_{2} \dots a_{k} = \frac{A}{N}$ である。 $a_{k} \neq = 0$ なので $1 ≦ A ≦ N - 1$ である。

(1)

与えられた不等式は $\frac{A}{N} ≦ n - N < \frac{A + 1}{N}$ と書ける。したがって $N + \frac{A}{N} ≦ n < N + \frac{A + 1}{N}$ である。両辺は正なので平方して $(N + \frac{A}{N})^{2} ≦ n < (N + \frac{A + 1}{N})^{2}$ を得る。

左端は $(N + \frac{A}{N})^{2} = N^{2} + 2 A + \frac{A ^{2}}{N ^{2}}$ である。 $1 ≦ A ≦ N - 1$ より $0 < \frac{A ^{2}}{N ^{2}} < 1$ だから，左端以上の最小の整数は $N^{2} + 2 A + 1$ である。

右端は $(N + \frac{A + 1}{N})^{2} = N^{2} + 2 A + 2 + \frac{( A + 1 ) ^{2}}{N ^{2}}$ である。ここで $0 < \frac{( A + 1 ) ^{2}}{N ^{2}} ≦ 1$ である。したがって右端未満の整数は，多くても $N^{2} + 2 A + 1, N^{2} + 2 A + 2$ までであり，実際にこれら2つは区間に入る。よって求める正の整数 $n$ は $n = N^{2} + 2 A + 1, n = N^{2} + 2 A + 2$ である。

(2)

同様に，求める $m$ は半開区間

[(p + \frac{A}{N})^{2}, (p + \frac{A + 1}{N})^{2})

に含まれる整数であればよい。この区間の長さは

(p + \frac{A + 1}{N})^{2} - (p + \frac{A}{N})^{2} = \frac{2 p}{N} + \frac{2 A + 1}{N ^{2}}

である。

仮定より $p ≧ 5 \cdot 1 0^{k - 1} = \frac{N}{2}$ なので $\frac{2 p}{N} ≧ 1$ である。また $(2 A + 1) / N^{2} > 0$ だから，区間の長さは1より大きい。

任意の半開区間 $[α, β)$ で $β - α > 1$ なら， $⌈ α ⌉ < α + 1 < β$ なので，その中に整数が少なくとも1つ存在する。したがって上の半開区間にも整数が存在する。その整数を $m$ とすれば，求める不等式を満たす。

(3)

条件を満たす正の整数 $s$ が存在すると仮定する。 $r = [s]$ とおくと，仮定は $s - r = \frac{A}{N}$ を意味する。したがって $s = r + \frac{A}{N}$ であり，両辺に $N$ を掛けて $N s = N r + A$ を得る。さらに平方すると $N^{2} s = (N r + A)^{2}$ である。

左辺は $N^{2}$ で割り切れるので， $(N r + A)^{2}$ も $N^{2}$ で割り切れる。 $N = 1 0^{k} = 2^{k} 5^{k}$ であるから，平方数 $(N r + A)^{2}$ が $2^{2 k} 5^{2 k}$ で割り切れるなら， $N r + A$ は $2^{k} 5^{k} = N$ で割り切れる。よって $N r + A \equiv 0 (mod N)$ である。ところが $N r$ は $N$ で割り切れるから $A \equiv 0 (mod N)$ となる。

しかし $1 ≦ A ≦ N - 1$ なので， $A$ は $N$ で割り切れない。これは矛盾である。したがって $s - [s] = 0. a_{1} a_{2} \dots a_{k}$ を満たす正の整数 $s$ は存在しない。

東京大学 2016年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2016年度
理系数学第5問