東京大学 2016年度理系数学第4問解答・解説

問題

$z$ を複素数とする。複素数平面上の3点 $A (1), B (z), C (z^{2})$ が鋭角三角形をなすような $z$ の範囲を求め，図示せよ。

% 図は省略

出典：東京大学 2016年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

$z = X + Y i$ とおき，3点 $A (1), B (z), C (z^{2})$ の各頂点での内積が正である条件を計算する。複素数平面では，ベクトル $u, v$ の内積は $Re (u \overline{v})$ で表せる。 $A$ ， $B$ ， $C$ の順に計算すると，条件は $X > - 1$ ， $X < 0$ ， $∣ z ∣^{2} + X > 0$ となる。したがって，縦帯 $- 1 < X < 0$ のうち，中心 $(- 1/2, 0)$ ，半径 $1/2$ の円の外部を図示する。

解答

$z = X + Y i$ とおく。複素数平面で，複素数 $u, v$ が表す2つのベクトルの内積は $Re (u \overline{v})$ で表せる。

まず頂点 $A$ での条件を調べる。 $A$ から $B, C$ へ向かうベクトルは $z - 1, z^{2} - 1 = (z - 1) (z + 1)$ である。したがって内積は

Re {(z - 1) \overline{(z - 1) (z + 1)}} = ∣ z - 1 ∣^{2} Re (\overline{z + 1}) = ∣ z - 1 ∣^{2} (X + 1)

である。鋭角条件はこれが正であることなので $X > - 1$ である。

次に頂点 $B$ での条件を調べる。 $B$ から $A, C$ へ向かうベクトルは $1 - z, z^{2} - z = z (z - 1)$ である。内積は

Re {(1 - z) \overline{z (z - 1)}} = Re {- ∣ z - 1 ∣^{2} \overline{z}} = - ∣ z - 1 ∣^{2} X

である。したがって $X < 0$ である。

最後に頂点 $C$ での条件を調べる。 $C$ から $A, B$ へ向かうベクトルは $1 - z^{2} = (1 - z) (1 + z), z - z^{2} = z (1 - z)$ である。内積は

Re {(1 - z) (1 + z) \overline{z (1 - z)}} = ∣1 - z ∣^{2} Re {(1 + z) \overline{z}}

である。ここで

Re {(1 + z) \overline{z}} = Re (\overline{z} + z \overline{z}) = X + ∣ z ∣^{2}

なので，条件は $∣ z ∣^{2} + X > 0$ である。

以上を合わせると $- 1 < X < 0, X^{2} + Y^{2} + X > 0$ である。後半は $(X + \frac{1}{2})^{2} + Y^{2} > \frac{1}{4}$ と書ける。

したがって求める範囲は，縦帯 $- 1 < X < 0$ のうち，中心 $(- 1/2, 0)$ ，半径 $1/2$ の円の外部である。ただし，境界は鋭角でなく直角または点の一致に対応するため含まない。

別解。各頂点での直角条件を先に曲線として求めることもできる。 $A$ と $B$ での直角条件はそれぞれ直線 $X = - 1$ ， $X = 0$ となり， $C$ での直角条件は円 $(X + 1/2)^{2} + Y^{2} = 1/4$ となる。鋭角側を代表点で判定すれば，同じ領域が得られる。

東京大学 2016年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

東京大学 2016年度
理系数学第4問