東京大学 2016年度理系数学第2問解答・解説

問題

A，B，Cの3つのチームが参加する野球の大会を開催する。以下の方式で試合を行い，2連勝したチームが出た時点で，そのチームを優勝チームとして大会は終了する。

(a) 1試合目でAとBが対戦する。

(b) 2試合目で，1試合目の勝者と，1試合目で待機していたCが対戦する。

なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は $\frac{1}{2}$ で，引き分けはないものとする。

(1) $n$ を2以上の整数とする。ちょうど $n$ 試合目でAが優勝する確率を求めよ。

(2) $m$ を正の整数とする。総試合数が $3 m$ 回以下でAが優勝したとき，Aの最後の対戦相手がBである条件付き確率を求めよ。

出典：東京大学 2016年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

(1)は文科第2問と同じく，優勝が決まるまでは勝者列が3チームの巡回になることを使う。初戦の勝者が $A$ か $B$ かで， $A$ が2連勝できる時刻が $n \equiv 2$ または $n \equiv 1 (mod 3)$ に分かれる。(2)は条件付き確率として，分母に $3 m$ 試合以下で $A$ が優勝する確率，分子にそのうち最後の相手が $B$ である確率を置く。最後の相手が $B$ になるのは $n = 4, 7, \dots, 3 m - 2$ のときである。

解答

(1)

優勝が決まる前は，連続する2試合の勝者は同じではない。したがって勝者列は3チームを巡回する形に限られる。

1試合目で $A$ が勝つ場合，優勝が決まるまでは $A, C, B, A, C, B, \dots$ と勝者が並ぶ。この場合， $(n - 1)$ 試合目の勝者が $A$ で， $n$ 試合目も $A$ が勝つと， $A$ がちょうど $n$ 試合目で優勝する。これは $n \equiv 2 (mod 3)$ のときである。

1試合目で $B$ が勝つ場合，優勝が決まるまでは $B, C, A, B, C, A, \dots$ と勝者が並ぶ。この場合， $(n - 1)$ 試合目の勝者が $A$ となるのは $n \equiv 1 (mod 3)$ のときである。

したがって， $A$ がちょうど $n$ 試合目で優勝する確率は

{2^{- n} 0 (n \equiv 1, 2 (mod 3)), (n \equiv 0 (mod 3))

である。

(2)

まず，総試合数が $3 m$ 回以下で $A$ が優勝する確率を求める。(1)より該当する時刻は $2, 5, 8, \dots, 3 m - 1$ および $4, 7, 10, \dots, 3 m - 2$ である。したがって分母に当たる確率は $\sum_{j = 0}^{m - 1} \frac{1}{2 ^{3 j + 2}} + \sum_{j = 0}^{m - 2} \frac{1}{2 ^{3 j + 4}}$ であり，これは $\frac{5 \cdot 8 ^{m} - 12}{14 \cdot 8 ^{m}}$ である。

次に， $A$ の最後の対戦相手が $B$ である場合を数える。初戦で $B$ が勝つ巡回 $B, C, A, B, C, A, \dots$ では， $A$ が優勝する直前の試合で $A$ が勝ったとき，次の試合の相手は待機していた $B$ である。したがって最後の相手が $B$ となるのは $n = 4, 7, 10, \dots, 3 m - 2$ のときである。よって分子に当たる確率は

j = 0 \sum m - 2 \frac{1}{2 ^{3 j + 4}} = \frac{1}{16} \cdot \frac{1 - 8 ^{- (m - 1)}}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{1}{14} (1 - 8^{- (m - 1)})

である。 $m = 1$ のときはこの和は空で，右辺も0になる。

したがって求める条件付き確率は

\frac{\frac{1}{14} ( 1 - 8 ^{- (m - 1)} )}{\frac{5 \cdot 8 ^{m} - 12}{14 \cdot 8 ^{m}}} = \frac{8 ^{m} - 8}{5 \cdot 8 ^{m} - 12}

である。

東京大学 2016年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2016年度
理系数学第2問