問題
ををみたす実数とし，座標空間内の4点，，，を考える。直線，，と平面の交点をそれぞれとして，三角形の面積をとする。を最小にすると，そのときのの値を求めよ。
出典：東京大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
直線をと表し，となるを求める。は同じ座標で，は軸上にあるため，三角形の底辺と高さがすぐ読める。面積は正の有理式になり，で微分して増減を調べる。端点付近で面積が大きくなることも確認して，が最小であると結論する。
解答
直線上の点を と表す。
まずについて考える。直線上の点は である。これが平面上にあるにはであればよいので である。よりだから である。したがって である。
同様にについては である。
次にについては，直線上の点が であるから，の条件は である。より であり， である。 は軸方向の線分で，その長さは である。またはいずれも軸上にあり，では なので である。よって
である。 なので，符号を見やすくするために を計算する。整理すると である。では分母とは正なので，の符号はの符号と同じである。
したがってはで減少し，で増加する。よって最小となるのは のときであり，その値は である。
別解。 の配置を見ると，三角形の面積は射影による拡大率の積としても読める。への延長倍率が，方向では，方向ではとなるため，結局同じ有理式の最小化に帰着する。