問題
を正の整数とする。以下の問いに答えよ。
(1) 関数を次のように定める。
を連続な関数とし，，を実数とする。をみたすに対してが成り立つとき，次の不等式を示せ。
(2) 関数を次のように定める。
このとき，次の極限を求めよ。
出典：東京大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第6問
方針
(1)は が にだけ現れる非負の重みであり、重みの総量が1であることを示して、重み付き平均として不等式を挟む。(2)では で かつ であることを使い、 を の微分に直して部分積分する。すると積分は の重み付き平均になり、(1)と の連続性から に収束する。最後に部分積分で生じる符号を確認する。
解答
(1)
定義より であり、 となるのは すなわち のときだけである。また、 とおくと
である。
仮定より、 となる範囲では が成り立つ。さらに だから である。両辺を で積分し、さらに を掛けると
である。重みの総量が1であることから を得る。
(2)
とおく。 では であり、また である。さらに は の外で であるから、部分積分で端点項は出ない。
実際、 なので である。したがって
である。
ここで であり、これは連続関数である。特に である。任意の に対して、 の連続性より、十分小さい を取れば で が成り立つ。十分大きい では であるから、(1)を 、、 に適用できる。よって
となる。したがって である。
以上より、求める極限は部分積分で付いた負号に注意して である。