東京大学 2015年度理系数学第3問解答・解説

問題

$a$ を正の実数とし， $p$ を正の有理数とする。
座標平面上の2つの曲線 $y = a x^{p}$ $(x > 0)$ と $y = lo g x$ $(x > 0)$ を考える。この2つの曲線の共有点が1点のみであるとし，その共有点を $Q$ とする。
以下の問いに答えよ。必要であれば， $x \to \infty lim \frac{x ^{p}}{lo g x} = \infty$ を証明なしに用いてよい。

(1) $a$ および点 $Q$ の $x$ 座標を $p$ を用いて表せ。

(2) この2つの曲線と $x$ 軸で囲まれる図形を， $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を $p$ を用いて表せ。

(3) (2)で得られる立体の体積が $2 π$ になるときの $p$ の値を求めよ。

出典：東京大学 2015年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

2曲線の共有点が1点だけである条件を、 $F (x) = a x^{p} - lo g x$ が最小値 $0$ をとる条件に直す。 $F^{'} (x)$ の符号変化から接点の $x$ 座標 $q$ を決め、 $F (q) = F^{'} (q) = 0$ で $a, q$ を求める。囲まれる図形は $0 < x < 1$ では $x$ 軸と $y = a x^{p}$ 、 $1 < x < q$ では $y = lo g x$ と $y = a x^{p}$ に挟まれるため、回転体積は上側曲線の2乗積分から $lo g x$ の2乗積分を引く。最後は体積式を整理して $2 π$ と比較する。

解答

(1)

$F (x) = a x^{p} - lo g x (x > 0)$ とおく。 $a > 0, p > 0$ であるから、 $x \to + 0$ のとき $- lo g x \to + \infty$ より $F (x) \to + \infty$ である。また、問題文で与えられた極限から、 $x \to \infty$ のとき $a x^{p}$ は $lo g x$ より十分大きくなるので $F (x) \to + \infty$ である。

微分すると $F^{'} (x) = a p x^{p - 1} - \frac{1}{x} = \frac{a p x ^{p} - 1}{x}$ である。 $x > 0$ では $a p x^{p}$ は $0$ から $\infty$ まで単調に増えるので、 $F^{'} (x) = 0$ となる点はただ1つである。したがって $F (x)$ はただ1つの最小値をもつ。

2曲線の共有点が1点のみであるためには、この最小値がちょうど $0$ でなければならない。共有点 $Q$ の $x$ 座標を $q$ とすると $F (q) = 0, F^{'} (q) = 0$ である。すなわち $a q^{p} = lo g q, a p q^{p} = 1$ である。後式より $a q^{p} = \frac{1}{p}$ であり、前式と比べて $lo g q = \frac{1}{p}$ を得る。したがって $q = e^{1/ p}$ である。また $a q^{p} = \frac{1}{p}, q^{p} = e$ より $a = \frac{1}{p e}$ である。

(2)

(1)より $y = a x^{p} = \frac{x ^{p}}{p e}, q = e^{1/ p}$ である。 $F (x) ≧ 0$ で等号は $x = q$ のみだから $\frac{x ^{p}}{p e} ≧ lo g x$ が $x > 0$ で成り立つ。特に、 $0 < x < 1$ では $lo g x < 0$ なので、囲まれる図形は $x$ 軸と $y = \frac{x ^{p}}{p e}$ の間にあり、 $1 ≦ x ≦ q$ では $y = lo g x$ と $y = \frac{x ^{p}}{p e}$ の間にある。

よって回転体の体積を $V$ とすると

V = π \int_{0}^{q} (\frac{x ^{p}}{p e})^{2} d x - π \int_{1}^{q} (lo g x)^{2} d x

である。

まず

π \int_{0}^{q} (\frac{x ^{p}}{p e})^{2} d x = \frac{π}{p ^{2} e ^{2}} [\frac{x ^{2 p + 1}}{2 p + 1}]_{0}^{q} = \frac{π q ^{2 p + 1}}{p ^{2} e ^{2} ( 2 p + 1 )}

である。 $q = e^{1/ p}$ より $q^{2 p + 1} = e^{2 + 1/ p}$ なので

π \int_{0}^{q} (\frac{x ^{p}}{p e})^{2} d x = \frac{π e ^{1/ p}}{p ^{2} ( 2 p + 1 )}

である。

次に、部分積分により

\int (lo g x)^{2} d x = x (lo g x)^{2} - 2 \int lo g x d x = x {(lo g x)^{2} - 2 lo g x + 2}

である。したがって

\int_{1}^{q} (lo g x)^{2} d x = q {(lo g q)^{2} - 2 lo g q + 2} - 2 = e^{1/ p} (\frac{1}{p ^{2}} - \frac{2}{p} + 2) - 2

である。

ゆえに

V = π {\frac{e ^{1/ p}}{p ^{2} ( 2 p + 1 )} - e^{1/ p} (\frac{1}{p ^{2}} - \frac{2}{p} + 2) + 2} = π {2 + e^{1/ p} (\frac{1}{p ^{2} ( 2 p + 1 )} - \frac{1}{p ^{2}} + \frac{2}{p} - 2)}

である。括弧内を通分すると

\frac{1}{p ^{2} ( 2 p + 1 )} - \frac{1}{p ^{2}} + \frac{2}{p} - 2 = \frac{1 - ( 2 p + 1 ) + 2 p ( 2 p + 1 ) - 2 p ^{2} ( 2 p + 1 )}{p ^{2} ( 2 p + 1 )} = \frac{2 ( 1 - 2 p )}{2 p + 1}

である。したがって $V = 2 π {1 + \frac{( 1 - 2 p ) e ^{1/ p}}{2 p + 1}}$ である。

(3)

$V = 2 π$ とすると、(2)の式から $\frac{( 1 - 2 p ) e ^{1/ p}}{2 p + 1} = 0$ である。ここで $p > 0$ だから $e^{1/ p} > 0, 2 p + 1 > 0$ である。よって $1 - 2 p = 0$ であり $p = \frac{1}{2}$ を得る。

東京大学 2015年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2015年度
理系数学第3問