東京大学 2015年度
理系数学 第4問

解答

(1)

まず $p_1=1,p_2=2$ は正であり、$p_n,p_{n+1}$ が正なら $p_{n+2}=\frac{p_{n+1}^2+1}{p_n}>0$ である。したがってすべての $p_n$ は正で、以下の割り算は正当である。

与えられた漸化式は $p_n{p}_{n+2}=p_{n+1}^2+1$ と書ける。そこで $I_n=\frac{p_{n+1}^2+p_n^2+1}{p_{n+1}{p}_n}$ とおく。上の関係から $p_{n+1}^2+1=p_n{p}_{n+2}$ であるため $I_n=\frac{p_n{p}_{n+2}+p_n^2}{p_{n+1}{p}_n}=\frac{p_{n+2}+p_n}{p_{n+1}}$ である。

一方、添字を1つ進めると $I_{n+1}=\frac{p_{n+2}^2+p_{n+1}^2+1}{p_{n+2}{p}_{n+1}}$ である。ここで $p_{n+1}^2+1=p_n{p}_{n+2}$ を再び用いれば

となる。よって $I_{n+1}=I_n$ であり、$I_n$ は $n$ によらない。

(2)

(1)の一定値は $n=1$ を代入して $\frac{p_2^2+p_1^2+1}{p_2{p}_1}=\frac{4+1+1}{2}=3$ である。したがって、$n\geqq 2$ に対して $\frac{p_n^2+p_{n-1}^2+1}{p_n{p}_{n-1}}=3$ すなわち $p_n^2+p_{n-1}^2+1=3p_n{p}_{n-1}$ が成り立つ。

また、もとの漸化式で添字を $n-1$ とすると $p_{n-1}{p}_{n+1}=p_n^2+1$ である。これを上の式へ代入すると $p_{n-1}{p}_{n+1}+p_{n-1}^2=3p_n{p}_{n-1}$ である。左辺をくくって $p_{n-1}(p_{n+1}+p_{n-1})=3p_n{p}_{n-1}$ となる。$p_{n-1}>0$ だから両辺を $p_{n-1}$ で割ることができ、$\boxed{p_{n+1}+p_{n-1}=3p_n}$ を得る。

(3)

$r_n=q_{2n-1}$ とおく。まず、数列 $q_n$ について $q_{k+2}+q_{k-2}=3q_k(k\geqq 3)$ が成り立つことを示す。実際、$q_{k+1}=q_k+q_{k-1}$ より $q_{k+2}=q_{k+1}+q_k=2q_k+q_{k-1}$ であり、また $q_k=q_{k-1}+q_{k-2}$ より $q_{k-2}=q_k-q_{k-1}$ である。したがって $q_{k+2}+q_{k-2}=3q_k$ である。

これを $k=2n-1$ に適用すると、$n\geqq 2$ で $r_{n+1}+r_{n-1}=3r_n$ が成り立つ。一方、(2)より $p_n$ も $p_{n+1}+p_{n-1}=3p_n(n\geqq 2)$ を満たす。

初期値を比べると $r_1=q_1=1=p_1$ であり、また $r_2=q_3=q_2+q_1=2=p_2$ である。$p_{n+1}=3p_n-p_{n-1}$、$r_{n+1}=3r_n-r_{n-1}$ と書けるので、初期値2つが一致すれば数学的帰納法によりすべて一致する。よって $\boxed{p_n=q_{2n-1}}$ がすべての正の整数 $n$ について成り立つ。