問題
を2015以下の正の整数とする。が偶数となる最小のを求めよ。
出典：東京大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
を と書き、分子の因数 と分母の因数 に含まれる2の個数を比較する。 なので、 では と に含まれる2の個数が一致する。したがって は奇数であり、 で初めて分子側の2の個数が1つ多くなることを示す。
解答
である。
とする。 に含まれる因数 の個数を とすると、 だから であり と書ける。ただし は奇数である。このとき である。 より は偶数であり、 は奇数なので は奇数である。したがって、 に含まれる因数 の個数も である。
のとき
である。上で示したように、各 について、分子の因数 と分母の因数 に含まれる因数 の個数は等しい。したがって分子全体と分母全体に含まれる因数 の個数も等しく、約分後に因数 は残らない。ゆえに は奇数である。
次に を調べる。 に対応する部分では、先ほどと同様に因数 の個数は分子と分母で等しい。残る に対しては である。一方、分母側の因数は である。したがって の部分で分子側に因数 が1個多く、全体として は偶数である。
以上より、 が偶数となる最小の は である。