東京大学 2015年度
理系数学 第1問

解答

放物線の式を整理すると $y=a{x}^2+\frac{1-4a^2}{4a}=a(x^2-1)+\frac{1}{4a}$ である。ここで $x$ を固定し、$a>0$ を動かしたときの $y$ の値域を調べる。

(i) $|x|<1$ のとき

このとき $x^2-1<0$ である。$a\to +0$ とすると $\frac{1}{4a}\to +\infty$ であるから $y\to +\infty$ である。一方、$a\to \infty$ とすると $a(x^2-1)\to -\infty$ であるから $y\to -\infty$ である。右辺は $a$ について連続なので、$y$ はすべての実数値を取る。

(ii) $|x|=1$ のとき

このとき $x^2-1=0$ であるから $y=\frac{1}{4a}$ である。$a>0$ より $y>0$ であり、逆に任意の $y>0$ に対して $a=1/(4y)$ とすればその値を取る。

(iii) $|x|>1$ のとき

$c=x^2-1$ とおくと $c>0$ であり $y=ca+\frac{1}{4a}$ である。相加相乗平均より $ca+\frac{1}{4a}\geqq 2\sqrt{ca\cdot \frac{1}{4a}}=\sqrt{c}=\sqrt{x^2-1}$ である。等号は $ca=\frac{1}{4a}$ すなわち $a=\frac{1}{2\sqrt{c}}=\frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}$ のときに成り立つ。よってこの場合の値域は $y\geqq \sqrt{x^2-1}$ である。

以上より、$C$ の通過する領域は

である。図では、$|x|<1$ の縦帯はすべて塗り、境界線 $x=\pm 1$ 上では $y>0$ の部分だけを含める。$|x|>1$ では双曲線型の曲線 $y=\sqrt{x^2-1}$ およびその上側を含める。

別解。点 $(x,y)$ を通る放物線が存在する条件を、$a$ についての方程式で調べてもよい。式 $y=a(x^2-1)+\frac{1}{4a}$ は $4a^2(x^2-1)-4ay+1=0$ と同値である。$|x|<1$ では左辺は $a$ について上に凸でなく、$a>0$ の範囲で $+\infty$ から $-\infty$ まで動くので任意の $y$ に対して正の解をもつ。$|x|=1$ では $-4ay+1=0$ となり、正の解をもつ条件は $y>0$ である。$|x|>1$ では2次方程式の正の解が必要で、判別式より $16\{y^2-(x^2-1)\}\geqq 0$ かつ正の解をもつために $y>0$ が必要である。したがって $y\geqq \sqrt{x^2-1}$ となり、上の結果と一致する。

% 図は省略