問題
次の命題Pを証明したい。
命題P 次の条件(a)，(b)をともに満たす自然数（1以上の整数）Aが存在する。
(a) Aは連続する3つの自然数の積である。
(b) Aを10進法で表したとき，1が連続して99回以上現れるところがある。
以下の問いに答えよ。
(1) は自然数とする。このとき不等式
が成り立つような正の実数の範囲を求めよ。
(2) 命題Pを証明せよ。
方針
(1) は と展開し、左右の不等式をそれぞれ整理する。左側は が自然数であれば自動的に成り立ち、右側は に関する二次不等式になる。(2) では99個の1からなる数 を用意し、 が3の倍数であることから とする。十分大きい を選び、連続3整数の積を と の間に挟む。
解答
(1)
である。展開すると である。
左側の不等式 は と同値である。 は自然数なので であり、また である。したがってこれはすべての で成り立つ。
右側の不等式 は すなわち と同値である。この二次式の正の解を超えればよいから、求める範囲は である。
(2)
99個の1が並んだ整数を とする。 の各位の和は なので、 は で割り切れる。そこで とおく。
(1) より、この に対して十分大きい正の実数 は不等式を満たす。そこで十分大きい自然数 を選び、 が (1) の範囲に入るようにする。さらに としてよい。 とおくと、 は連続する3つの自然数の積である。また (1) と より である。
ここで なので、 は の位より十分下にあり、 の99個の数字がそのまま一つの桁のブロックとして入る。さらに上の不等式により、 は 以上で、 未満であるから、 の位から上に現れる99桁のブロックは のままで、繰り上がって になることがない。
したがって の10進表示には、1が連続して99回現れる部分がある。よって命題Pは証明された。