問題
を実数とし，で定義された関数，を次のように定める。
このときのグラフとのグラフがにおいて共有点をちょうど3つ持つようなをすべて求めよ。
出典：東京大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
共有点条件を の形に直し、水平線 と関数 の交点数を数える。 は の符号で決まるため、極大・極小の位置と値が明確に並ぶ。正の では最初の枝で1点、正の山で2点を作る条件を調べ、負の では最初の谷の後にちょうど1点だけ増える接線条件を調べる。
解答
共有点は を満たす に対応する。これを について解くと である。したがって、求める問題は、曲線 と水平線 の交点数がちょうど3になる を求めることに等しい。
微分すると
である。 では だから、 の符号は の符号で決まる。すなわち、 は の区間で減少し、 の区間で増加する。
極値は で生じる。 では なので である。これは極小値である。また では なので である。これは極大値である。さらに である。
正の を考える。最初の区間 では、 は から まで減少するので、正の に対して常に1つ交点をもつ。さらに、正の極大値は と小さくなる。したがって、最初の正の山だけで2つ交点をもち、次の正の山以降では交点をもたないための条件は である。このとき交点数は である。端点では接するため交点数が変わるので含まれない。
次に負の を考える。 では最初の谷の前後で少なくとも2つの交点がある。その後の負の極小値は と に近づく。ちょうど3つの交点になるのは、2番目の負の谷で水平線が接する場合だけである。したがって である。
以上より、求める は または である。