東京大学 2013年度理系数学第4問解答・解説

問題

$△ A B C$ において $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $∣ A B ∣ = 1$ ， $∣ A C ∣ = 3$ とする。 $△ A B C$ の内部の点 $P$ が

\frac{P A}{∣ P A ∣} + \frac{P B}{∣ P B ∣} + \frac{P C}{∣ P C ∣} = 0

をみたす。

(1) $∠ A P B$ ， $∠ A P C$ を求めよ。

(2) $∣ P A ∣$ ， $∣ P B ∣$ ， $∣ P C ∣$ を求めよ。

出典：東京大学 2013年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

3つの単位ベクトルの和が $0$ になる条件から、3方向は互いに $12 0^{\circ}$ をなすことが分かる。これで $∠ A P B$ 、 $∠ A P C$ 、 $∠ B P C$ が決まる。距離は $P A = x, P B = y, P C = z$ とおき、余弦定理で $A B = 1, A C = 3, B C = 2$ を表す。3式の差から $(y - x) (x + y + z) = 1$ 、 $(z - y) (x + y + z) = 2$ を導き、正の解を求める。

解答

(1)

u = \frac{P A}{∣ P A ∣}, v = \frac{P B}{∣ P B ∣}, w = \frac{P C}{∣ P C ∣}

とおく。これらはいずれも長さ $1$ のベクトルであり、条件より $u + v + w = 0$ である。したがって $u + v = - w$ であり、両辺の長さの二乗を比べると $∣ u + v ∣^{2} = ∣ w ∣^{2} = 1$ である。左辺は

∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} + 2 u \cdot v = 2 + 2 u \cdot v

なので $u \cdot v = - \frac{1}{2}$ である。よって $u$ と $v$ のなす角は $12 0^{\circ}$ である。同様に他の2組も $12 0^{\circ}$ をなす。したがって $∠ A P B = 12 0^{\circ}, ∠ A P C = 12 0^{\circ}$ である。

(2)

$P A = x, P B = y, P C = z$ とおく。 $∠ A P B = ∠ A P C = ∠ B P C = 12 0^{\circ}$ であり、 $A B = 1$ 、 $A C = 3$ 、 $B C = 2$ である。余弦定理より $x^{2} + y^{2} - 2 x y cos 12 0^{\circ} = 1$ すなわち $x^{2} + y^{2} + x y = 1$ である。同様に $x^{2} + z^{2} + x z = 3, y^{2} + z^{2} + y z = 4$ である。

3式の差をとる。第3式から第2式を引くと $y^{2} - x^{2} + z (y - x) = 1$ であり、 $(y - x) (x + y + z) = 1$ である。また第2式から第1式を引くと $z^{2} - y^{2} + x (z - y) = 2$ より $(z - y) (x + y + z) = 2$ である。 $S = x + y + z$ とおくと $y = x + \frac{1}{S}, z = y + \frac{2}{S} = x + \frac{3}{S}$ である。したがって $S = x + y + z = 3 x + \frac{4}{S}$ より $x = \frac{S ^{2} - 4}{3 S}, y = \frac{S ^{2} - 1}{3 S}$ である。これを $x^{2} + y^{2} + x y = 1$ に代入すると $S^{4} - 8 S^{2} + 7 = 0$ である。 $S > 0$ であり、 $x > 0$ も必要なので $S^{2} = 1$ は不適、よって $S^{2} = 7$ である。

したがって

S = 7, x = \frac{1}{7}, y = \frac{2}{7}, z = \frac{4}{7}

である。ゆえに

∣ P A ∣ = \frac{7}{7}, ∣ P B ∣ = \frac{2 7}{7}, ∣ P C ∣ = \frac{4 7}{7}

である。

東京大学 2013年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2013年度
理系数学第4問