東京大学 2013年度理系数学第3問解答・解説

問題

$A$ ， $B$ の2人がいる。投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ $\frac{1}{2}$ のコインが1枚あり，最初は $A$ がそのコインを持っている。次の操作を繰り返す。

(i) $A$ がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出れば $A$ に1点を与え，コインは $A$ がそのまま持つ。裏が出れば，両者に点を与えず， $A$ はコインを $B$ に渡す。

(ii) $B$ がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出れば $B$ に1点を与え，コインは $B$ がそのまま持つ。裏が出れば，両者に点を与えず， $B$ はコインを $A$ に渡す。

そして $A$ ， $B$ のいずれかが2点を獲得した時点で，2点を獲得した方の勝利とする。

(1) $A$ ， $B$ あわせてちょうど $n$ 回コインを投げ終えたときに $A$ の勝利となる確率 $p (n)$ を求めよ。

(2) $n = 1 \sum \infty p (n)$ を求めよ。

出典：東京大学 2013年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

(1) は文系第4問と同じく、 $n$ 回目の直前までの列を裏の個数の偶奇で分類する。 $A$ が勝つ直前には、 $A$ がコインを持ち、 $A$ の表がちょうど1回、 $B$ の表が0回または1回である必要がある。(2) は偶数 $n = 2 k$ と奇数 $n = 2 k + 1$ に分けて和を計算する。総和は $A$ が最終的に勝つ確率でもあるので、状態方程式による別解でも確認できる。

解答

(1)

$n$ 回目に $A$ が勝つには、 $n$ 回目の直前に $A$ がコインを持っており、 $A$ の得点がちょうど1点でなければならない。そして $n$ 回目に表が出て、 $A$ が2点目を得る。

最初から $n - 1$ 回目までを考える。裏の個数が偶数のときは $A$ がコインを持ち、奇数のときは $B$ がコインを持つ。したがって、裏の個数が偶数の状態で出た表は $A$ の得点、奇数の状態で出た表は $B$ の得点である。 $m = n - 1$ とする。 $m$ 回目までの列は、裏の個数が偶数で、 $A$ の表が1回、 $B$ の表が0回または1回でなければならない。

裏が $2 r$ 回出たとすると、 $A$ が持っている区間は $r + 1$ 個、 $B$ が持っている区間は $r$ 個ある。 $A$ の表はちょうど1回なので、どの $A$ の区間で表を出すかは $r + 1$ 通りである。 $B$ の表が0回なら列の長さは $2 r + 1$ で、個数は $r + 1$ 通りである。これは $m$ が奇数の場合で、個数は $\frac{m + 1}{2}$ である。 $B$ の表が1回なら列の長さは $2 r + 2$ で、 $B$ のどの区間で表を出すかも選ぶから、個数は $r (r + 1)$ である。これは $m$ が偶数の場合で、個数は $\frac{m}{2} (\frac{m}{2} - 1)$ である。

最後の $n$ 回目は表でなければならないので、

p (n) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{n}{2 ^{n + 1}} \frac{( n - 1 ) ( n - 3 )}{2 ^{n + 2}} (n が偶数), (n が奇数)

である。

(2)

偶数の場合、 $n = 2 k$ とおくと

k = 1 \sum \infty p (2 k) = k = 1 \sum \infty \frac{2 k}{2 ^{2 k + 1}} = k = 1 \sum \infty \frac{k}{4 ^{k}}

である。 $\sum_{k = 1}^{\infty} k r^{k} = \frac{r}{( 1 - r ) ^{2}}$ に $r = 1/4$ を代入して $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{4 ^{k}} = \frac{4}{9}$ である。

奇数の場合、 $n = 2 k + 1$ とおくと

k = 1 \sum \infty p (2 k + 1) = k = 1 \sum \infty \frac{( 2 k ) ( 2 k - 2 )}{2 ^{2 k + 3}} = k = 1 \sum \infty \frac{k ( k - 1 )}{2 \cdot 4 ^{k}}

である。 $\sum_{k = 1}^{\infty} k (k - 1) r^{k} = \frac{2 r ^{2}}{( 1 - r ) ^{3}}$ に $r = 1/4$ を代入して $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k ( k - 1 )}{2 \cdot 4 ^{k}} = \frac{4}{27}$ である。したがって $\sum_{n = 1}^{\infty} p (n) = \frac{4}{9} + \frac{4}{27} = \frac{16}{27}$ である。

別解。 $\sum p (n)$ は、最終的に $A$ が勝つ確率である。たとえば、 $A$ がコインを持ち得点が $(i, j)$ である状態から $A$ が勝つ確率を $A_{ij}$ 、 $B$ がコインを持つ同様の確率を $B_{ij}$ とする。 $i, j$ は $0$ または $1$ でよい。すると $A_{11} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} B_{11}, B_{11} = \frac{1}{2} A_{11}$ より $A_{11} = 2/3, B_{11} = 1/3$ である。これを順に戻すと $A_{10} = \frac{7}{9}, B_{01} = \frac{2}{9}$ となり、初期状態について

A_{00} = \frac{1}{2} A_{10} + \frac{1}{2} B_{00}, B_{00} = \frac{1}{2} B_{01} + \frac{1}{2} A_{00}

を解いて $A_{00} = \frac{16}{27}$ を得る。よって同じく $\sum_{n = 1}^{\infty} p (n) = 16/27$ である。

東京大学 2013年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2013年度
理系数学第3問