東京大学 2013年度理系数学第1問解答・解説

問題

実数 $a$ ， $b$ に対し平面上の点 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ を

(x_{0}, y_{0}) = (1, 0)

(x_{n + 1}, y_{n + 1}) = (a x_{n} - b y_{n}, b x_{n} + a y_{n}) (n = 0, 1, 2, \dots)

によって定める。このとき，次の条件(i)，(ii)がともに成り立つような $(a, b)$ をすべて求めよ。

(i) $P_{0} = P_{6}$

(ii) $P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}$ は相異なる。

出典：東京大学 2013年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

点 $(x_{n}, y_{n})$ を複素数 $z_{n} = x_{n} + y_{n} i$ と見れば、与えられた漸化式は $z_{n + 1} = (a + bi) z_{n}$ という複素数の掛け算になる。よって $z_{n} = (a + bi)^{n}$ であり、 $P_{0} = P_{6}$ は6乗して1になる条件、途中の点が相異なることは1乗から5乗では1に戻らない条件である。つまり $a + bi$ が原始的な6乗根であることを求めればよい。

解答

$z_{n} = x_{n} + y_{n} i$ とおく。与えられた漸化式は $z_{n + 1} = (a + bi) z_{n}$ と書ける。初期値は $z_{0} = 1$ なので、帰納的に $z_{n} = (a + bi)^{n}$ である。

条件 (i) の $P_{0} = P_{6}$ は $z_{0} = z_{6}$ と同じであり、 $z_{0} = 1$ だから $(a + bi)^{6} = 1$ である。

また条件 (ii) は、 $P_{0}, P_{1}, \dots, P_{5}$ が相異なることである。特に $P_{k} = P_{0}$ となる $1 ≦ k ≦ 5$ があってはならない。これは $(a + bi)^{k} \neq = 1 (k = 1, 2, 3, 4, 5)$ という条件である。 $a + bi$ を極形式で $a + bi = r (cos θ + i sin θ)$ と書く。 $(a + bi)^{6} = 1$ より $r^{6} = 1$ であり、 $r ≧ 0$ だから $r = 1$ である。また $6 θ = 2 π m$ を満たす整数 $m$ が存在する。したがって $a + bi = cos \frac{mπ}{3} + i sin \frac{mπ}{3}$ である。

このうち、1乗から5乗では1に戻らないものは、6乗して初めて1になるもの、すなわち $m$ が $6$ と互いに素な場合である。 $m = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ の中では $m = 1, 5$ である。よって $a + bi = cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}$ または $a + bi = cos \frac{5 π}{3} + i sin \frac{5 π}{3}$ である。したがって求める $(a, b)$ は

(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}), (\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})

である。

東京大学 2013年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

東京大学 2013年度
理系数学第1問