問題
を定義域とする関数
について，以下の問いに答えよ。
(1) 関数 は，実数全体を定義域とする逆関数を持つことを示せ。すなわち，任意の実数に対して，となるがただ1つ存在することを示せ。
(2) 前問(1)で定められた逆関数を とする。このとき，定積分を求めよ。
出典：東京大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第6問
方針
とおくと で， は になる。， で ， で を示せば，実数全体を値域にもつ単調関数なので逆関数が定義できる。(2)は ， を確認し，逆関数の面積関係で を に変換して計算する。
解答
(1)
とおく。 なので である。このとき と書ける。 を微分すると
である。 では分母も分子も正なので である。したがって は で狭義単調増加である。
また， のとき，分母 は正で0に近づき，分子 は に近づく。よって である。一方， のとき である。
したがって は 上で連続かつ狭義単調増加で，値域は実数全体である。 は と を一対一に対応させるので，任意の実数 に対して を満たす がただ1つ存在する。よって は実数全体を定義域とする逆関数をもつ。
(2)
まず端点に対応する値を確認する。 のとき であり， のとき である。したがって逆関数 について である。
逆関数の面積関係を用いると である。
残る積分を計算する。 とおくと であり，
である。ここで だから である。 に戻すと である。
よって
である。
したがって
である。