問題
次の条件を満たす組を考える。
条件(A)：，，は正の整数で，およびを満たす。
以下の問いに答えよ。
(1) 条件(A)を満たす組で，となるものをすべて求めよ。
(2) 組が条件(A)を満たすとする。このとき，組が条件(A)を満たすようなが存在することを示せ。
(3) 条件(A)を満たす組は，無数に存在することを示せ。
方針
(1)は を順に調べる。 なので候補は少なく，2次方程式の判別式または因数分解で確認できる。(2)は が解なら， について を考える。この方程式の一方の解が であるため，他方の解 を取れば も方程式を満たす。順序条件と正整数条件を確認し，(3)では からこの操作を繰り返して第3成分が真に増えることを示す。
解答
(1)
条件(A)は である。
まず のとき， より である。方程式は すなわち となり，正の整数解をもたない。
次に のとき， または である。 なら より であり，解をもたない。 なら より であり，これも解をもたない。
最後に のとき， を調べる。 なら より であり，解をもたない。 なら より であり，解をもたない。 なら より である。したがって となり， なので を得る。
よって， を満たす組は である。
(2)
が条件(A)を満たすとする。すなわち である。 についての2次方程式 を考える。 を代入すると であり，これは条件(A)の方程式そのものである。したがって はこの2次方程式の解である。もう一方の解を とすると，解と係数の関係より だから である。この は整数である。
この は同じ2次方程式を満たすので であり，すなわち である。
次に順序を確認する。(1)の結果から，条件(A)を満たす組では である。もし なら，(1)より は または であり，いずれも である。したがって常に である。
よって であり，， から である。したがって であり， は正の整数である。以上より は条件(A)を満たす。
(3)
(1)より は条件(A)を満たす。さらに(2)より，条件(A)を満たす組 から という新しい条件(A)の組を作ることができる。
しかも(2)で示したように，新しい第3成分は を満たす。したがってこの操作を繰り返すと，第3成分は のように真に増加し，同じ組に戻ることはない。よって条件(A)を満たす組は無数に存在する。
したがって ことが示された。