東京大学 2006年度理系数学第2問解答・解説

問題

コンピュータの画面に，記号○と×のいずれかを表示させる操作をくり返し行う。このとき，各操作で，直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は，それまでの経過に関係なく， $p$ であるとする。

最初に，コンピュータの画面に記号×が表示された。操作をくり返し行い，記号×が最初のものも含めて3個出るよりも前に，記号○が $n$ 個出る確率を $P_{n}$ とする。ただし，記号○が $n$ 個出た段階で操作は終了する。

(1) $P_{2}$ を $p$ で表せ。

(2) $n ≧ 3$ のとき， $P_{n}$ を $p$ と $n$ で表せ。

出典：東京大学 2006年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

文科第2問と同じ状況である。最初の $\times$ を含めて3個出る前に成功するには，追加の $\times$ は0個または1個しか許されない。停止時の最後の記号は $\circ$ なので，追加の $\times$ がない場合，最初に追加の $\times$ が出る場合， $\circ$ が出た後に追加の $\times$ が1回だけ出る場合に分ける。理科版では一般式を $n ≧ 3$ としてまとめる。

解答

(1)

最初に $\times$ が1個表示されているので， $\circ$ が2個出るまでに追加で出てよい $\times$ は高々1個である。成功する列は

\times \circ \circ, \times \times \circ \circ, \times \circ \times \circ

である。それぞれの確率は $(1 - p) p, p (1 - p) p, (1 - p)^{3}$ である。したがって

P_{2} = (1 - p) p + p (1 - p) p + (1 - p)^{3} = (1 - p) (2 p^{2} - p + 1)

である。

(2)

$n ≧ 3$ とする。追加の $\times$ がない場合，列は $\times \circ \circ \dots \circ$ であり，確率は $(1 - p) p^{n - 1}$ である。

追加の $\times$ が最初の操作で出る場合，最初に $\times$ が続き，その後 $\circ$ に変わって $n$ 個の $\circ$ がそろう。確率は $p (1 - p) p^{n - 1}$ である。

追加の $\times$ が，少なくとも1個の $\circ$ が出た後に現れる場合を考える。この $\times$ は，1個目の $\circ$ の後から $(n - 1)$ 個目の $\circ$ の後までのいずれかに入る。したがって位置は $n - 1$ 通りである。どの位置でも， $\times \to \circ$ ， $\circ \to \times$ ， $\times \to \circ$ という3回の変化があり，残りの $n - 2$ 回は $\circ$ が続く。よって各確率は $(1 - p)^{3} p^{n - 2}$ である。

以上より

P_{n} = (1 - p) p^{n - 1} + p (1 - p) p^{n - 1} + (n - 1) (1 - p)^{3} p^{n - 2} = (1 - p) p^{n - 2} {p + p^{2} + (n - 1) (1 - p)^{2}} = (1 - p) p^{n - 2} {n p^{2} - (2 n - 3) p + n - 1}

である。

別解。追加の $\times$ の個数で状態を追うと，成功経路は「追加0個のまま成功」，「最初に追加1個を使って成功」，「途中で $\circ \to \times \to \circ$ と1回だけ戻って成功」の3型に限られる。各型の確率は上の3項に対応するので，同じ式になる。

東京大学 2006年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2006年度
理系数学第2問