東京大学 2006年度理系数学第5問解答・解説

問題

$a_{1} = \frac{1}{2}$ とし，数列 ${a_{n}}$ を漸化式

a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{( 1 + a _{n} ) ^{2}} (n = 1, 2, 3, \dots)

によって定める。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) 各 $n = 1, 2, 3, \dots$ に対し $b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ とおく。 $n > 1$ のとき， $b_{n} > 2 n$ となることを示せ。

(2) $n \to \infty lim \frac{1}{n} (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n})$ を求めよ。

(3) $n \to \infty lim n a_{n}$ を求めよ。

出典：東京大学 2006年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

逆数 $b_{n} = 1/ a_{n}$ を取ると，漸化式は $b_{n + 1} = b_{n} + 2 + 1/ b_{n}$ という加法型になる。(1)は増加量が常に2より大きいことから示す。(2)は $a_{n} < 1/ (2 n)$ を用いて平均を上から評価する。(3)は $b_{n}$ が $2 n$ より大きく，一方で超過分は調和和程度に抑えられることを示し， $b_{n} / n \to 2$ から $n a_{n} \to 1/2$ を得る。

解答

(1)

$b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ とおく。 $a_{1} = 1/2$ なので $b_{1} = 2$ である。また $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{( 1 + a _{n} ) ^{2}}$ より

b_{n + 1} = \frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{( 1 + a _{n} ) ^{2}}{a _{n}} = \frac{1}{a _{n}} + 2 + a_{n} = b_{n} + 2 + \frac{1}{b _{n}}

である。 $b_{n} > 0$ だから $b_{n + 1} > b_{n} + 2$ である。

これを繰り返すと， $n > 1$ に対して $b_{n} > b_{1} + 2 (n - 1) = 2 n$ である。したがって $b_{n} > 2 n (n > 1)$ が示された。

(2)

(1)より， $n > 1$ では $b_{n} > 2 n$ である。 $a_{n} = 1/ b_{n}$ だから $0 < a_{n} < \frac{1}{2 n} (n > 1)$ である。

したがって

0 < \frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}{n} ≦ \frac{1}{n} (\frac{1}{2} + k = 2 \sum n \frac{1}{2 k})

である。ここで $\sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k} ≦ 1 + \int_{1}^{n} \frac{d x}{x} = 1 + lo g n$ なので，右辺は $\frac{1}{n} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (1 + lo g n))$ 以下であり， $n \to \infty$ で0に近づく。はさみうちにより $n \to \infty lim \frac{1}{n} (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) = 0$ である。

(3)

(1)より， $n > 1$ で $b_{n} > 2 n$ である。したがって $\frac{1}{b _{n}} < \frac{1}{2 n}$ である。漸化式 $b_{n + 1} = b_{n} + 2 + \frac{1}{b _{n}}$ から， $n > 1$ では $b_{n + 1} < b_{n} + 2 + \frac{1}{2 n}$ となる。 $k = 2, 3, \dots, n - 1$ についてこの不等式を足し合わせると，ある定数項を含めて $b_{n} < 2 n + C + \frac{1}{2} \sum_{k = 2}^{n - 1} \frac{1}{k}$ と書ける。例えば $C = b_{2} - 4$ としてよい。よって $2 < \frac{b _{n}}{n} < 2 + \frac{C}{n} + \frac{1}{2 n} \sum_{k = 2}^{n - 1} \frac{1}{k}$ である。右端の余分な項は，(2)と同様に調和和が $lo g n$ 程度であることから0に近づく。したがって $lim_{n \to \infty} \frac{b _{n}}{n} = 2$ である。

ゆえに $n a_{n} = \frac{n}{b _{n}} = \frac{1}{b _{n} / n}$ より $n \to \infty lim n a_{n} = \frac{1}{2}$ である。

東京大学 2006年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2006年度
理系数学第5問