東京大学 2006年度
理系数学 第3問

解答

(1)

対称軸を $l:y=\alpha x+\beta$ とおく。この直線は $\alpha x-y+\beta =0$ と書ける。点 $(0,y)$ をこの直線に関して対称移動した点を計算すると

である。

原点 $O=(0,0)$ の像 $Q$ は直線 $y=1$ 上にある。したがって，$y=0$ を代入した像の $y$ 座標から $\frac{2\beta }{1+{\alpha }^2}=1$ を得る。よって $\beta =\frac{1+{\alpha }^2}{2}$ である。このとき $Q$ の $x$ 座標は $\frac{2\alpha (0-\beta )}{1+{\alpha }^2}=-\alpha$ である。$Q$ は第1象限にあるので $\alpha <0$ である。

次に $P=(0,p)$ の像 $R$ を求める。上の式に $y=p$，$\beta =(1+{\alpha }^2)/2$ を代入すると

である。$R$ は直線 $y=(\tan \theta )x$ 上にあるから，$R$ の $y$ 座標を $x$ 座標で割って

である。

(2)

原点を通り $l$ に垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{\alpha }$ である。条件より $-\frac{1}{\alpha }=\tan \frac{\theta }{3}$ である。そこで $t=\tan \frac{\theta }{3}$ とおく。$0<\theta <\pi /2$ より $0<t<\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ であり，$\alpha =-\frac{1}{t}$ である。

(1)の式に $\alpha =-1/t$ を代入すると $\tan \theta =\frac{t\{p+1-(p-1)t^2\}}{1-(2p-1)t^2}$ となる。一方，三倍角の公式より

である。

条件はどの $\theta$ に対しても成り立つ，すなわちどの $0<t<\frac{1}{\sqrt{3}}$ に対しても成り立つことである。$t>0$ なので $t$ を消し，$\frac{p+1-(p-1)t^2}{1-(2p-1)t^2}=\frac{3-t^2}{1-3t^2}$ が恒等的に成り立つ必要がある。両辺を交差に掛けると $\{p+1-(p-1)t^2\}(1-3t^2)=(3-t^2)\{1-(2p-1)t^2\}$ である。定数項を比較して $p+1=3$ だから $p=2$ でなければならない。

実際，$p=2$ とすると $\frac{t\{3-t^2\}}{1-3t^2}$ となり，三倍角の公式の値と一致する。さらに $0<t<1/\sqrt{3}$ では $\alpha =-1/t<0$ であり，$Q$ は第1象限にある。また $p=2$ のとき $R$ の $x$ 座標も正となり，$\tan \theta >0$ だから $R$ も第1象限にある。

したがって条件を満たす点 $P$ は存在し，その値は $\boxed{p=2}$ である。